Chứng minh rằng phương trình :
\(x^3-3x+c=0\)
không thể có hai nghiệm thực trong đoạn \(\left[0;1\right]\)
Cho hai phương trình: 5 x 2 + 3 x − 8 = 0 (1) và − x 2 + 8 x − 7 = 0 (2)
a) Chứng minh x=1 là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).
b) Chứng minh x = − 8 5 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
6. Biết rằng phương trình x 3 −3x 2 +3 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng trong ba nghiệm này có hai nghiệm a,b thoả mãn ab+3 = a+2b.
6. Biết rằng phương trình x 3 −3x 2 +3 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng trong ba nghiệm này có hai nghiệm a,b thoả mãn ab+3 = a+2b.
Cho a,b,c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình \(x^2-2ax+b=0;x^2-2bx+c;x^2-2cx+a=0\)
có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
nhầm r >_< sửa lại chỗ này nhé
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)< 0\\b\left(3-b\right)< 0\\c\left(3-c\right)< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a< a^2\\3b< b^2\\3c< c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)>3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=6>0\) :))
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a)x^5 - 3x+3=0 b)x^5+x-1=0 c)x^4+x^3-3x^2+x+1=0
Lời giải:
a) $f(x)=x^5-3x+3$ liên tục trên $R$
$f(0)=3>0; f(-2)=-23<0\Rightarrow f(0)f(-2)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-2;0)$
Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm.
b) $f(x)=x^5+x-1$ liên tục trên $R$
$f(0)=-1<0; f(1)=1>0\Rightarrow f(0)f(1)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0;1)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
c) $f(x)=x^4+x^3-3x^2+x+1$ liên tục trên $R$
$f(0)=1>0; f(-1)=-3<0\Rightarrow f(0)f(-1)<0$
$\Rightarrow f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-1;0)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
6. Biết rằng phương trình x 3 −3x 2 +3 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng trong ba nghiệm này có hai nghiệm a,b thoả mãn ab+3 = a+2b.
7. Cho đa thức P(x) = 2x 4 −x 3 −5x 2 +5x−5. Gọi a,b, c là ba nghiệm phân biệt của đa thức Q(x) = x 3 −3x+1. Tính P(a).P(b).P(c).
8. Biết rằng phương trình P(x) = x 3 +3x 2 −1 có ba nghiệm phân biệt a < b < c. Chứng minh rằng c = a 2 +2a− 2,b = c 2 +2c−2,a = b 2 +2b−2.
1. Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^3-3x^2+9x+1964\). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên \(a\) sao cho \(f\left(a\right)⋮3^{2014}\)
2. Chứng minh rằng với mọi \(a\inℤ\), phương trình \(x^4-2007x^3+\left(2006+a\right)x^2-2005x+a=0\) không thể có 2 nghiệm nguyên phân biệt.
3. Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \(2^n-1|3^n-1\)
Cho hai phương trình: − 2 x 2 + 3 x + 5 = 0 (1) và 2 5 x − 1 x − 1 + 5 = 2 x (2)
a) Chứng minh x = 5 2 là nghiệm chung của (1) và (2).
b) Chứng minh x = - 1 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
a) b) HS tự làm.
c) Hai phương trình đã cho không tương đương.
Cho hai phương trình: x2-5x+6=0 (1)
x+(x-2)(2x+1)=2 (2)
a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là x=2
b) Chứng minh: x=3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không, vì sao?
a:
Thay x=2 vào (1), ta được:
\(2^2-5\cdot2+6=0\)(đúng)
Thay x=2 vào (2), ta được:
\(2+\left(2-2\right)\cdot\left(2\cdot2+1\right)=2\)(đúng)
b: (1)=>(x-2)(x-3)=0
=>S1={2;3}
(2)=>\(x+2x^2+x-4x-2-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
=>(x+2)(x-1)=0
=>S2={-2;1}
vậy: x=3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)