Cho \(f\left(x\right)=\sin2x\)
Tính \(f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) ?
Cho hàm số f(x)=\(sin^2\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)+sin^2\left(\dfrac{\pi}{6}+x\right)\) . Chứng minh rằng f '(x)=sin2x
Lời giải:
Ta có:
\(f(x)=\sin ^2\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+\sin ^2\left(\frac{\pi}{6}+x\right)\)
\(\Rightarrow f'(x)=2\sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right).-\cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)+2\sin \left(\frac{\pi}{6}+x\right)\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right)\)
\(f'(x)=-\sin 2\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+\sin 2\left(\frac{\pi}{6}+x\right)\)
Áp dụng công thức: \(\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\) suy ra:
\(f'(x)=-\sin \left(\frac{\pi}{3}-2x\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}+2x\right)\)
\(f'(x)=2\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\sin 2x=\sin 2x\) (đpcm)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm và liên tục trên \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)thoả mãn \(f\left(x\right)=f'\left(x\right)-2cosx\). Biết \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\), tính giá trị \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
A. \(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) C. \(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\) D. 0
Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)
A. √3+1/2 B. √3−1/2 C. 1−√3/2 D. 0
\(f'\left(x\right)-f\left(x\right)=2cosx\)
\(\Leftrightarrow e^{-x}.f'\left(x\right)-e^{-x}.f\left(x\right)=2e^{-x}cosx\)
\(\Rightarrow\left[e^{-x}.f\left(x\right)\right]'=2e^{-x}.cosx\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow e^{-x}.f\left(x\right)=\int2e^{-x}cosxdx=e^{-x}\left(sinx-cosx\right)+C\)
Thay \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow e^{-\dfrac{\pi}{2}}.1=e^{-\dfrac{\pi}{2}}+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=sinx-cosx\)
\(\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
a) Cho \(f\left(x\right)=\left(x+10\right)^6\). Tính \(f"\left(2\right)\) ?
b) Cho \(f\left(x\right)=\sin3x\). Tính \(f"\left(-\dfrac{\pi}{2}\right);f"\left(0\right);f"\left(\dfrac{\pi}{18}\right)\) ?
a) Ta có f'(x) = 6(x + 10)'.(x + 10)5
\(=6.\left(x+10\right)^5\)
f"(x) = 6.5(x + 10)'.(x + 10)4 = 30.(x + 10)4.
=> f''(2) = 30.(2 + 10)4 = 622 080.
b) Ta có f'(x) = (3x)'.cos3x = 3cos3x,
f"(x) = 3.[-(3x)'.sin3x] = -9sin3x.
Suy ra f"\(\dfrac{-\pi}{2}\) = -9sin\(\dfrac{-3\pi}{2}\) = -9;
f"(0) = -9sin0 = 0;
f"\(\dfrac{\pi}{18}\) = -9sin\(\dfrac{\pi}{6}\) = \(\dfrac{-9}{2}\).
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sin3x\)
Tính \(f"\left(-\dfrac{\pi}{2}\right);f"\left(0\right);f"\left(\dfrac{\pi}{18}\right)\) ?
f(x)=sin3x , f '(x) = 3cos3x .... f ''(x) =-3.3.sin(3x)
suy ra f ''(x) = -9sin(3x) ....
f ''(\(\dfrac{\pi}{2}\)) = -9.sin(3.\(\dfrac{-\pi}{2}\)) =-9
f ''(0\(\)) = -9.sin(3.0\(\)) =0
f ''(\(\dfrac{\pi}{18}\)) = -9.sin(3.\(\dfrac{\pi}{18}\))=\(\dfrac{-9}{2}\)..ok nha
cho \(sinx\) = \(\dfrac{1}{5}\) và \(\dfrac{\pi}{2}\) < x < \(\pi\) tính
a) sin2x, cos2x, tan2x, cot2x
b) \(sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)
c) \(cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)
d) \(tan\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
a: pi/2<x<pi
=>cosx<0
=>\(cosx=-\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^2}=-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\)
\(sin2x=2\cdot sinx\cdot cosx=2\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{-2\sqrt{6}}{5}=\dfrac{-4\sqrt{6}}{25}\)
\(cos2x=2\cdot cos^2x-1=2\cdot\dfrac{24}{25}-1=\dfrac{48}{25}-1=\dfrac{23}{25}\)
\(tan2x=-\dfrac{4\sqrt{6}}{25}:\dfrac{23}{25}=-\dfrac{4\sqrt{6}}{23}\)
\(cot2x=1:\dfrac{-4\sqrt{6}}{23}=\dfrac{-23}{4\sqrt{6}}\)
b: \(sin\left(x-\dfrac{pi}{6}\right)=sinx\cdot cos\left(\dfrac{pi}{6}\right)-cosx\cdot sin\left(\dfrac{pi}{6}\right)\)
\(=sinx\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-cosx\cdot\dfrac{1}{2}\)
\(=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{-2\sqrt{6}}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{10}\)
c: \(cos\left(x-\dfrac{pi}{3}\right)=cosx\cdot cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)+sinx\cdot sin\left(\dfrac{pi}{3}\right)\)
\(=-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-2\sqrt{6}+1}{10}\)
d: \(tan\left(x-\dfrac{pi}{4}\right)=\dfrac{tanx-tan\left(\dfrac{pi}{4}\right)}{1+tanx\cdot tan\left(\dfrac{pi}{4}\right)}\)
\(=\dfrac{tanx-1}{1+tanx}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{-2\sqrt{6}}-1}{1+\dfrac{1}{-2\sqrt{6}}}=\dfrac{-25-4\sqrt{6}}{23}\)
a) Rút gọn biểu thức
\(A=\dfrac{\sin4x+2\sin2x}{\sin4x-2\sin2x}.\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)\) (khi biểu thức có nghĩa)
b) Cho \(\cot\alpha=\dfrac{4}{3},3\pi< \alpha< \dfrac{7\pi}{2}\). Tính \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}-\alpha\right)\)
cho cosx = \(-\dfrac{1}{4}\) và \(\dfrac{\pi}{2}\) < x < \(\pi\) tính
a) sin2x, cos2x, tan2x, cot2x
b) \(sin\left(x+\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
c) \(cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)\)
d) \(tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)
a) Để tính sin2x, cos2x, tan2x và cot2x, chúng ta cần biết giá trị của cosx trước đã. Theo như bạn đã cho, cosx = -1/4. Vậy sinx sẽ bằng căn bậc hai của 1 - cos^2(x) = căn bậc hai của 1 - (-1/4)^2 = căn bậc hai của 1 - 1/16 = căn bậc hai của 15/16 = sqrt(15)/4. Sau đó, chúng ta có thể tính các giá trị khác như sau: sin2x = (2sinx*cosx) = 2 * (sqrt(15)/4) * (-1/4) = -sqrt(15)/8 cos2x = (2cos^2(x) - 1) = 2 * (-1/4)^2 - 1 = 2/16 - 1 = -14/16 = -7/8 tan2x = sin2x/cos2x = (-sqrt(15)/8) / (-7/8) = sqrt(15) / 7 cot2x = 1/tan2x = 7/sqrt(15) b) Để tính sin(x + 5π/6), chúng ta có thể sử dụng công thức sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). Với a = x và b = 5π/6, ta có: sin(x + 5π/6) = sin(x)cos(5π/6) + cos(x)sin(5π/6) = sin(x)(-sqrt(3)/2) + cos(x)(1/2) = (-sqrt(3)/2)sin(x) + (1/2)cos(x) c) Để tính cos(π/6 - x), chúng ta sử dụng công thức cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). Với a = π/6 và b = x, ta có: cos(π/6 - x) = cos(π/6)cos(x) + sin(π/6)sin(x) = (√3/2)cos(x) + 1/2sin(x) d) Để tính tan(x + π/3), chúng ta có thể sử dụng công thức tan(a + b) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a)tan(b)). Với a = x và b = π/3, ta có: tan(x + π/3) = (tan(x) + tan(π/3))/(1 - tan(x)tan(π/3))
a: pi/2<x<pi
=>sin x>0
=>\(sinx=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\)
\(sin2x=2\cdot sinx\cdot cosx=2\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}\cdot\dfrac{-1}{4}=\dfrac{-\sqrt{15}}{8}\)
\(cos2x=2\cdot cos^2x-1=2\cdot\dfrac{1}{16}-1=-\dfrac{7}{8}\)
\(tan2x=-\dfrac{\sqrt{15}}{8}:\dfrac{-7}{8}=\dfrac{\sqrt{15}}{7}\)
\(cot2x=1:\dfrac{\sqrt{15}}{7}=\dfrac{7}{\sqrt{15}}\)
b: sin(x+5/6pi)
=sinx*cos(5/6pi)+cosx*sin(5/6pi)
\(=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\cdot\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-1}{4}=\dfrac{-\sqrt{45}-1}{8}\)
c: cos(pi/6-x)
=cos(pi/6)*cosx+sin(pi/6)*sinx
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{-1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}=\dfrac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}\)
d: tan(x+pi/3)
\(=\dfrac{tanx+tan\left(\dfrac{pi}{3}\right)}{1-tanx\cdot tan\left(\dfrac{pi}{3}\right)}\)
\(=\dfrac{-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{15}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{1+3\sqrt{5}}\)
Chứng minh rằng \(f'\left(x\right)=0;\forall x\in R\) nếu :
a) \(f\left(x\right)=3\left(\sin^4x+\cos^4x\right)-2\left(\sin^6x+\cos^6x\right)\)
b) \(f\left(x\right)=\cos^6x+2\sin^4x.\cos^2x+3\sin^2x\cos^4x+\sin^4x\)
c) \(f\left(x\right)=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\left(x+\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
d) \(f\left(x\right)=\cos^2x+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)\)
Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f'(x)=0
a) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
b) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
c) f(x)=\(\frac{1}{4}\)(\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{6}\))=>f'(x)=0
d,f(x)=\(\frac{3}{2}\)=>f'(x)=0
cho cosx = \(\dfrac{1}{6}\) và \(\dfrac{3\pi}{2}\) < x < 2\(\pi\) tính
a) sin2x, cos2x, tan2x, cot2x
b) \(sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\)
c) \(cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
d) \(tan\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)\)
a: 3/2pi<x<2pi
=>sin x<0
=>\(sinx=-\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^2}=-\dfrac{\sqrt{35}}{6}\)
\(sin2x=2\cdot sinx\cdot cosx=2\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{-\sqrt{35}}{6}=\dfrac{-\sqrt{35}}{18}\)
\(cos2x=2\cdot cos^2x-1=2\cdot\dfrac{1}{36}-1=\dfrac{1}{18}-1=\dfrac{-17}{18}\)
\(tan2x=\dfrac{-\sqrt{35}}{18}:\dfrac{-17}{18}=\dfrac{\sqrt{35}}{17}\)
\(cot2x=1:\dfrac{\sqrt{35}}{17}=\dfrac{17}{\sqrt{35}}\)
b: \(sin\left(\dfrac{pi}{3}-x\right)\)
\(=sin\left(\dfrac{pi}{3}\right)\cdot cosx-cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)\cdot sinx\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-\sqrt{35}}{6}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{-\sqrt{35}-1}{12}\)
c: \(cos\left(x-\dfrac{3}{4}pi\right)\)
\(=cosx\cdot cos\left(\dfrac{3}{4}pi\right)+sinx\cdot sin\left(\dfrac{3}{4}pi\right)\)
\(=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{-\sqrt{35}}{6}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{70}}{12}\)
d: tan(pi/6-x)
\(=\dfrac{tan\left(\dfrac{pi}{6}\right)-tanx}{1+tan\left(\dfrac{pi}{6}\right)\cdot tanx}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{35}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\left(-\sqrt{35}\right)}\)