Tham khảo:

Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Từ B, M, N ta dựng hình bình hành BMNC.

Khi đó: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC} \) hay \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

a) Vì  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \) nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.

Vậy \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

b) Ta có:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \) nên:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

Tập hợp tất cả những điểm M để \(\overrightarrow {AM} \) vuông góc với \(\overrightarrow n \) là đường thẳng qua A và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow n \).

Www

a) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)

\( \Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a , \,\overrightarrow b \) cùng hướng.

b) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  \Leftrightarrow 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc với nhau.

a.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)

\(=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\)

\(\Rightarrow T_{min}\) khi và chỉ khi \(MG_{min}\Rightarrow MG=0\) hay M trùng G

Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{2-1+6}{3}=\dfrac{7}{3}\\y_M=\dfrac{3-1+0}{3}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

b.

Tương tự câu a, ta có \(T=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\) đạt min  khi MG đạt min

\(\Rightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của G lên Ox

Mà \(G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};0\right)\)

c.

Do M thuộc Ox nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(2-m;3\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-1-m;-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(3m+6;7\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(3m+6\right)^2+7^2}\ge\sqrt{0+7^2}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(3m+6=0\Rightarrow m=-2\)

\(\Rightarrow M\left(-2;0\right)\)

a) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.6 + ( - 3).4}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {4^2}} }} = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \)

b) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3.5 + 2.( - 1)}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \)

c) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right).3 + ( - 2\sqrt 3 ).\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\sqrt 3 }^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 150^\circ \)

a) \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}\)
Vậy bất kì điểm M nào nằm trên mặt phẳng cũng thỏa mãn:
\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\).
b) Do \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}\) nên không tồn tại điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}\).
c) \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\) nên M là trung điểm của AB.

a,, CÓ \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}\)

Vậy với mọi điểm M thì đều thõa mãn

b, có \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}\) ( không thõa mãn)

vậy không có điểm M nào thõa mãn điều kện trên

c, có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{O}\) \(\Rightarrow\) M là trung điểm của AB