a) Ta có tứ giác AA’CC’ là hình bình hành suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường.

Do đó IH // CB′ ( đường trung bình của tam giác CB’A’)

Mặt khác IH ⊂ (AHC′) nên CB′ // (AHC′)

b) Ta có:

suy ra, ⇒ A là điểm chung của (AB’C’) và (ABC)

Mà

Nên (AB′C′) ∩ (ABC) = Ax

Và Ax // BC // B′C′

a) Do MM' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' nên M'M//BB'//CC'. Vì vậy MM'//AA'.
Vì vậy tứ giác A'M'MA là hình bình hành. Suy ra: AM//A'M'.
b) Trong mp (AA'M'M), ta có: MA' ∩ AM' = K.
     Do \(K\in A'M\)  và \(A'M\in\left(AB'C'\right)\) nên K (AB'C').

c) Có \(O=AB'\cap A'B\) nên \(O\in\left(AB'C'\right)\cap\left(BA'C'\right)\).
 Suy ra: \(d\equiv CO'\).

d) Trong (AB'C'): C'O ∩ AM' = G vì vậy G ( AMM') . Mà O, M' lần lượt là trung điểm AB' và B'C' nên G là trọng tâm của tam giác AB'C'.

a) Ta có II′ // BB′ và II’ = BB’

Mặt khác AA′ // BB′ và AA’ = BB’ nên : AA′ // II′ và AA’ = II’

⇒ AA’II’ là hình bình hành.

⇒ AI // A′I′

b) Ta có:

⇒ A ∈ (AB′C′) ∩ (AA′I′I)

Tương tự :

I′ ∈ (AB′C′) ∩ (AA′I′I) ⇒ (AB′C′) ∩ (AA′I′I) = AI′

Đặt AI′ ∩ A′I = E. Ta có:

Vậy E là giao điểm của AI’ và mặt phẳng (AB’C’)

c) Ta có:

Tương tự:

Vậy (AB′C′) ∩ (A′BC) = MN

Đáp án A.

Cách 1: Gọi P là giao điểm của  BN và A'B'=>P là trọng tâm Δ A ' B ' B .

Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm  Δ A ' C ' C

⇒ P Q / / B ' C '  Ta có A B ' C ' ∩ B C M N = P Q .

Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.

I là trung điểm của PQ.

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K

=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.

Ta có   A B ' = A C ' ⇒ Δ A B ' C ' cân tại A ⇒ A H ⊥ B C ⇒ A I ⊥ P Q .

Lại có I J ⊥ P Q ⇒  Góc giữa A B ' C ' và   B C M N là góc giữa IJ và IA.

Ta có:

A C ' = A C 2 + C C ' 2 = 2 3 2 + 2 2 = 4

⇒ A H = A C ' 2 − H C ' 2 = 4 2 − 3 2 = 13 ⇒ A I = 2 3 A H = 2 13 3

B N = B B ' 2 + B ' N 2 = 2 2 + 3 2 = 7

K J = N E = B N 2 − E B 2 = 7 − 3 4 = 5 2 ⇒ I J = 2 3 K J = 5 3

Lại có A J = 2 3 . 3 2 = 3

Trong  Δ A I J   :

cos A I J ^ = I J 2 + I A 2 − A J 2 2. I J . I A = 25 9 + 4.13 9 − 9 2. 5 3 . 2 13 3 = − 13 65 .

 Cosin của góc giữa A B ' C '  và  B C M N   là  13 65

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Gọi T là trung điểm AC. Đặt  M = 0 ; 0 ; 0 , B ' 3 ; 0 ; 0 , C ' 0 ; 3 ; 0 , T 0 ; 0 ; 2

⇒ A 0 ; − 3 ; 2 , B 3 ; 0 ; 2 , C 0 ; 3 ; 2 ⇒ M B → = 3 ; 0 ; 2 , M C → = 0 ; 3 ; 2

  n → = M B → , M C → = 2 3 ; 6 ; 6 3 là một vecto pháp tuyến của .

Lại có   A B ' → = 3 ; 3 ; − 2 , A C ' → = 0 ; 2 3 ; − 2

  ⇒ n ' → = A B → , A C → ' = 2 3 ; 6 ; 6 3 là một vecto pháp tuyến của A B ' C ' .

Gọi α  là góc giữa A B ' C '  và M N B C .

Ta có:

cos α = cos n → ; n ' → ^ = − 2 3 .2 3 + − 6 .6 + 3 3 .6 3 − 2 3 2 + − 6 2 + 3 3 2 . 2 3 2 + 6 2 + 6 3 2 = 13 65

Đáp án C

Do góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) bằng  60 °

Suy ra A B ' C ' ; A B C ^ = 60 °  

Dựng H K ⊥ B ' C ' , do A H ⊥ B ' C ' ⇒ B ' C ' ⊥ A K H  

Do đó  A K H ^ = 60 °

Mặt khác B ' C ' = a 3 , sin A ' B ' C ' ^ = A ' C ' B ' C ' = 2 3  

Suy ra  H K = H B ' sin B ' ^ = a 2 2 3 ; A H = H K tan 60 ° = a 2 2  

Do  C ' H = A ' H 2 + A ' C ' 2 = 3 a 2 ⇒ r H B ' C ' = H C ' 2 sin H B ' C ' ^ = 3 a 6 8  

Áp dụng công thức tính nhanh R = r 2 + A H 2 4 = a 62 8 .

(a)đi pua cc" và song song với 2 đt AH,CB'