Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 2 . Biết góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) bằng 60 ° và hình chiếu của A lên (A'B'C') là trung điểm H của đoạn thẳng A'B'. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A.HB'C' theo a
A. a 21 7
B. 3 a 6 8
C. a 62 8
D. 2 a 21 7
Đáp án C
Do góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) bằng 60 °
Suy ra A B ' C ' ; A B C ^ = 60 °
Dựng H K ⊥ B ' C ' , do A H ⊥ B ' C ' ⇒ B ' C ' ⊥ A K H
Do đó A K H ^ = 60 °
Mặt khác
B
'
C
'
=
a
3
,
sin
A
'
B
'
C
'
^
=
A
'
C
'
B
'
C
'
=
2
3
Suy ra H K = H B ' sin B ' ^ = a 2 2 3 ; A H = H K tan 60 ° = a 2 2
Do C ' H = A ' H 2 + A ' C ' 2 = 3 a 2 ⇒ r H B ' C ' = H C ' 2 sin H B ' C ' ^ = 3 a 6 8
Áp dụng công thức tính nhanh R = r 2 + A H 2 4 = a 62 8 .