Đặt \(a=\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}\)(có 2010 dấu căn), suy ra :

\(a^2=3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}\)(có 2009 dấu căn), nên

\(a^2-3=\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}\)(có 2009 dấu căn), do đó ta có :

\(\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=\frac{3-a}{6-\left(a^2-3\right)}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{3-a}{\left(3-a\right)\left(3+a\right)}=\frac{1}{3+a}\).

Do  \(a+3>4\) nên  \(\frac{1}{3+a}<\frac{1}{4}\) hay \(\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}<\frac{1}{4}\) (đpcm).

\(\left(\sqrt{200}+5\sqrt{150}-7\sqrt{600}\right):\sqrt{50}=2+5\sqrt{3}-7\sqrt{12}\)

\(2+5\sqrt{3}-14\sqrt{3}=2-9\sqrt{3}\)

Đặt cái căn dưới mẫu là a, suy ra căn trên tử là \(\sqrt{3+a}\). Nếu đề chính xác thì biến đổi tương đương nhẹ nhàng là ra :))

vui long giai chi tiet
minh hong hiu

Ta c/m \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>1\) (2010 dấu căn)  (1)

Thật vậy: \(VT>\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{1}}}}\)

\(=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+1}}}=\sqrt{3+\sqrt{3+2}}=\sqrt{3+\sqrt{5}}>2\)

Vậy (1) đúng

Đặt \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a\left(a>2\right)\) (có 2010 dấu căn)

Suy ra \(3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a^2\) (có 2009 dấu căn)

Suy ra \(\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a^2-3\)

Thay vào,ta có: \(VT=\frac{3-a}{6+3-a^2}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{3-a}{\left(3-a\right)\left(3+a\right)}=\frac{1}{3+a}\)

Mà a > 2 nên \(VT=\frac{1}{3+a}< \frac{1}{3+2}=\frac{1}{5}< \frac{1}{4}^{\left(đpcm\right)}\) (không chắc nha!)

bạn ghi đề sai phải ko? Phải là căn trong căn chứ. sao lại có \(\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}...\) hay là \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{.....+\sqrt{3}}}}\)

\(A=\dfrac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\)

\(=\dfrac{3-\sqrt{3+x}}{6-x}\) \(\left(x=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}\text{ với 2009 dấu căn}\right)\)

\(=\dfrac{6-x}{\left(6-x\right)\left(3+\sqrt{3+x}\right)}=\dfrac{1}{3+\sqrt{3+x}}\)

Ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{3+\sqrt{3+x}}< \dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3+x}>1\)

\(\Leftrightarrow x>-2\) đúng

\(\Rightarrowđpcm\)

Xét tử : 

\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>3-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+\sqrt{64}}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>3-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+8}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>3-\sqrt{64}=3-8=-5\) ( bước này tự hiểu nhé ) 

Xét mẫu : 

\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 6-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 6-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+2}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 6-\sqrt{4}=6-2=4\) ( bước này cũng tự hiểu -,- ) 

\(\Rightarrow\)\(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}>\frac{-5}{4}>-1\) \(\left(1\right)\)

(Xét 1 lần nữa -,- ) 

Xét tử : 

\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+2}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3-\sqrt{4}=3-2=1\)

Xét mẫu : 

\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>6-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+\sqrt{64}}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>6-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+8}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>6-\sqrt{64}=6-8=-2\)

\(\Rightarrow\)\(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}< \frac{1}{-2}< 0\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(-1< A< 0\)

Vậy A không thể là 1 số nguyên

... 

Có cách khác ngắn hơn nha bn!

Đặt:

\(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a>0\)(có 2019 dấu căn)

\(\Rightarrow3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a^2\) (có 2018 dấu căn)

\(\Rightarrow\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a^2-3\) (có 2018 dấu căn)

Thay vào A,ta đc:

\(A=\frac{3-a}{6-\left(a^2-3\right)}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{1}{3+a}\)

Do a>0 \(\Rightarrow0< A=\frac{1}{3+a}< 1\)

Vậy : A ko thể là số nguyên