Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

K đúng vài cái đc hông

 Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

K đúng vài cái đc hông

a) Gỉả Sử \(\Delta ABC\) có AM, BN, CP là các trung tuyến
Đầu tiên, Ta sẽ chứng minh nếu AB < AC thì CP > BN

\(\Delta ABC\) và \(\Delta AMC\) có :

AM : chung
MB = MC (Do AM là trung tuyến)
AB < AC (gt)  \(\Leftrightarrow\widehat{AMB}< \widehat{AMC}\)

\(\Delta GMB\) và \(\Delta GMC\) có :

GM : chung
MB = MC (trung tuyến AM)

\(\widehat{GMB}< \widehat{GMC}\Rightarrow GB< GC\)

Hay \(\frac{2}{3}BN< \frac{2}{3}CP\Rightarrow BN< CP\)

b) (Phương pháp phản chứng) Ta sẽ chứng minh nếu BN < CP thì AB < AC
Giả sử AB \geq AC
Nếu AB = AC \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\)BN = CP (2 đường trung tuyến bằng nhau)
trái gt (BN < CP)
nếu AB > AC, thep cm phần a, ta có:
CP < BN (trái gt)
Điều ta giả thiết AB \geq AC là sai. Vậy AB < AC

ΔABC có AM là trung tuyến. Cm AM<(AB+AC)/2

Lấy D sao cho M là trung điểm của AD. 

Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

=>AB=CD và AC=BD

AB+AC=AC+CD>AD

=>AB+AC>2AM

=>AM<(AB+AC)/2