Question

Chứng minh rằng: Trong 1 tam giác. Trung tuyến ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại.
(Dùng định lí ở bài 3)

Answer 1

a) Gỉả Sử \(\Delta ABC\) có AM, BN, CP là các trung tuyến
Đầu tiên, Ta sẽ chứng minh nếu AB < AC thì CP > BN

\(\Delta ABC\) và \(\Delta AMC\) có :

AM : chung
MB = MC (Do AM là trung tuyến)
AB < AC (gt)  \(\Leftrightarrow\widehat{AMB}< \widehat{AMC}\)

\(\Delta GMB\) và \(\Delta GMC\) có :

GM : chung
MB = MC (trung tuyến AM)

\(\widehat{GMB}< \widehat{GMC}\Rightarrow GB< GC\)

Hay \(\frac{2}{3}BN< \frac{2}{3}CP\Rightarrow BN< CP\)

b) (Phương pháp phản chứng) Ta sẽ chứng minh nếu BN < CP thì AB < AC
Giả sử AB \geq AC
Nếu AB = AC \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\)BN = CP (2 đường trung tuyến bằng nhau)
trái gt (BN < CP)
nếu AB > AC, thep cm phần a, ta có:
CP < BN (trái gt)
Điều ta giả thiết AB \geq AC là sai. Vậy AB < AC