Bạn tự vẽ hình nha
Xét tg ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC= a; AC= c. Theo bài ra ta có: AM< \(\frac{b+c}{2}\)
CMTT: BD< \(\frac{a+c}{2}\) ; CE < \(\frac{a+b}{2}\)
Suy ra AM+BD+CE < a+b+c
Ta có BD+CE> \(\frac{3}{2}\) a
CMTT ta có:AM+CE > \(\frac{3}{2}\) b
AM+BD> \(\frac{3}{2}\) c
Suy ra 2(AM+BD+CE) > \(\frac{3}{2}\) ( a+c+c)
Do đó : AM+BD+CE > \(\frac{3}{4}\) ( a+b+c )
*) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA
+) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MÃ = MK
Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC
+) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC
=> 2.AM < AB + AC
Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC
2.CE < AC + BC
Cộng từng vế của
=> 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA)
=> ÂM + BD + CÉ < AB + BC + CA
*) Chứng minh:
(AB + BC + CA) < AM + BD + CE
+) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB
mà AG = .AM ; BG = .BD (do G là trong tâm tam giác ABC)
.(AM + BD) > AB
+) Tương tự, ta có: 2/3
(AM + CE) > AC; 2/3
(BD + CE) > BC
=> 2/3.2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA
<=> (ÂM + BD + CE) > AB + BC + CA
=> AM + BD + CE > (AB + BC + CA)
=> ĐPCM
