Question

cho Tam giác có hai đg trung tuyến AD và BE cắt nhau ở G . Kéo dài GD thêm 1 đoạn DI = DG . Kéo dài GE thêm 1 đoạn EK = EG
1) chứng minh AK ( = CG ) = BI 
2) chứng minh AK // BG
3) Chứng minh tam giác GAK = Tam giác GIB và AG = 2GD , BG = 2GE
4) Chứng minh DG = DA : 3 , EG = EB : 3
5) Nếu đường trung tuyến CF của Tam giác ABC cắt AD tại G thì ta có kết quả gì tương tự câu 4 ? Rút ra nhận xét về 3 đường trung tuyến . 
 

Answer 1

1)

xét ΔAEK và Δ CEG có:

EA=EC(gt)

EG=EK(gt)

góc AEK= góc GEC( 2 góc đối đỉnh)

=> ΔAEK=ΔCEG(c.g.c)

=> AK=GC

cm tương tự ta có:ΔGDC=ΔIDB(c.g.c)

=> GC=BI

 và AK=GC

=> AK=GC=BI

2)

theo câu a, ta có ΔAEK=ΔCEG(c.g.c)

=> góc EAK= góc ECG

=> AK//GC

theo câu a, ta có: ΔGDC=ΔIDB(c.g.c)

=> góc DGC= góc DIB

=> GC//BI

   và AK//GC

=> AK//BI

3)

ta có: AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của Δ ABC

BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔABC

=> giao của AD và BE là trọng tâm của ΔABC

=> G là trọng tâm của ΔABC

=> GA=2GD

mà GI=ID

=> GA=GI+ID=GI

ta có G là trọng tâm của ΔABC; BE là đường trung tuyến của ΔABC

=> BG=2GE

mà GE=EK

=> BG=GE+EK=GK

xét ΔGAK và ΔGIB có :

GA=GI(cmt)

GK=GB(cmt)

góc AGK= góc BGI(2 góc đối đỉnh)

=>ΔGAK=ΔGIB(c.g.c)

4)

ta có  AD là đường trung tuyến của ΔABC

=> AD=3GD

hay DG=DA:3

ta có : BE là đường trung tuyến của ΔABC

=> GE=BE:3

5)

nếu CF là đường trung tuyến của ΔABC cắt AD tại G thì G là trọng tâm của tam giác ΔABC( tương tự như câu 4)

=> CG=2GF

NX: 3 đường trung tuyến của 1 tam giác cắt nhau tại 1 điểm. điểm này gọi là trọng tâm của tam giác đó

điểm này cách trung điểm của cạnh mà đoạn thẳng đi qua nó một khoảng =1/2 k/cách từ điểm đó đến đỉnh của tam giác mà đoạn thẳng đã đi  nó