Question

Tam giác ABC cóC 2 trung tuyến BE và CF. Trên tia đối tia EB lấy EG=EB, trên tia đối tia FC lấy HF=FC

a) Chứng minh A, H, G thẳng hàng

b) Chứng minh HG=2BC

Answer 1

a) Xét tam giác GAE và tam giác BCEcó:

     EG =  EB ( gt)

    góc GEA = góc BEC ( 2 góc đối đỉnh )

     AE = EC (E là trung điểm của AC do BE là đường trung tuyến )

=> tam giác GAE = tam giác BCE ( c-g-c)

=>góc GAE = góc BCE ( 2 góc tương ứng )

Xét tam giác HAF và tam giác CBF có

       HF= FC ( gt)

      góc HFA = góc CFB( 2 góc đối đỉnh)

      AF = BF( F là trung điểm của AB do CF là đường trung tuyến)

=> tam giác HAF = tam giác CBF ( c-g-c)

=> góc HAF = góc CBF( 2 góc tương ứng )

Xét tam giác ABC có 

 góc BAC + góc ABC + góc BCA = 180 độ ( định lý tổng 3 góc trong tam giác )

mà góc HAF = góc CBA ( cmt)

     góc GAE = góc BCA (cmt)

=> góc BAC + góc HAF + góc GAE = 180 độ

hay góc HAG = 180 độ

=> H,A,G thẳng hàng

vậy H,A,G thẳng hàng

b)Có tam giác HAF = tam giác CBF (cmt)

   => AH = BC ( 2 cạnh tương ứng ) (1)

Có tam giác GAE = tam giác BCE (cmt)

=> AG = BC (2 cạnh tương ứng )(2)

từ (1) và (2) => AH + AG = BC + BC

                   hay HG = 2BC 

vậy HG = 2BC