Question

Chứng minh rằng trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ thì lớn hơn trung tuyến ứng với cạnh lớn

Answer 1

Giải:

Giả thiết \(AC>AB\) thì phải chứng minh \(BM< CN\)

Thực hiện \(T\overrightarrow{\left(NM\right)}\) thì: \(B\rightarrow B';C\rightarrow C';CN\rightarrow C'M;BN\rightarrow B'M\)

Bài toán trở thành \(BM< C'M\)

Từ \(M\) hạ \(MH\) vuông góc với \(BC\)

Do \(AC>AB\Rightarrow\dfrac{1}{2AC}>\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow BC>MB'\)

\(\Rightarrow HC>HB'\) (đường xiên lớn thì hình chiếu lớn hơn).

Lại có:

\(BB'=NM=CC'\Rightarrow CC+HC>BB'+B'H\)

\(\Rightarrow HC'>BH\Rightarrow MC'>MB\) Hay \(BM< C'M\)

\(\Rightarrow CN>MB\) Hay \(BM< CN\)

Vậy trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ thì lớn hơn trung tuyến ứng với cạnh lớn (Đpcm)