Với dự đoán P đạt Min tại \(a=b=c=\frac{5}{3}\Rightarrow P=\frac{9}{20}\). Nên ta chứng minh \(P\ge\frac{9}{20}\).Thật vậy:\(P=\Sigma\frac{a}{ab+5c}=\Sigma\frac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\left[\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{3}\right]^3}=\frac{9}{20}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{3}\)

Vậy..

Câu 1: xy + x - y = 4

<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3

<=> x(y+1) - (y + 1) = 3

<=> (y + 1) (x - 1) = 3

Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y => Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.

Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)

* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)

Vậy x = y = 2.

Câu 2:

Ta có:

 (a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z =(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0

Vì x; y; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c

 \(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{c-a}{z}\)

1. b3+b= 3                                       

(b3+b)=3                            

b.(3+1)=3

b. 4= 3

b=\(\dfrac{3}{4}\)

a3+a= 3                                       b3

(a3+a)=3                            

a.(3+1)=3

a. 4= 3

a=\(\dfrac{3}{4}\)

2

Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đề thiếu. Bạn coi lại đề.