Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK=MA

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta KMC\) có:

\(AM=MK\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{KMC}\left(đ.đ\right)\)

\(MB=MC\)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta KMC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CK\)

Theo BĐT tam giác,ta có:

\(AC+CK>AK\)

\(\Rightarrow AC+AB>2AM\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\left(đpcm\right)\)

Bạn tự vẽ hình

Lấy E đối xứng với A qua M
Có M là tđ của AE và BC
nên ABCE là hình bình hành 
nên AB=CE
Xét tam giác ACE có AC+CE>AE
suy ra AC+AB>2AM
hay (AC+AB)/2>AM(đpcm)

Vẽ điểm D sao cho M là trung điểm của AD

\(\Delta AMB=\Delta DMC(c.g.c)\)nên AB = CD

Xét \(\Delta ACD:AD< AC+CD\)nên  \(AD< AC+AB\)

Do AD = 2AM nên 2AM < AC + AB

Suy ra  \(AM< \frac{AB+AC}{2}\)

Bạn zZz Cool Kid zZz làm đúng rồi

Xét ΔABC có 

CM là trung tuyến

BN là trung tuyến

CM cắt BN tại O

Do đó: O là trọng tâm 

=>OM=1/3MC

ta có: AM = 1/2 BC => AM = BM, CM

xét tam giác ABM có : AM = BM

=> ABM cân tại M

xét tam giác ACM có : AM = CM

=> ACM cân tại M

Mà góc AMB + AMC = 180 độ ( kề bù )

=> góc B + góc BAM + góc C + góc CAM = 180 độ

Mà góc B = góc BAM

     góc C = góc CAM

=> BAM + CAM = 90 độ

=> tam giác ABC cân tại A

TK

giả sử N là trung điểm AC

mà M là trung điểm AB ( gt )

=> MN là đường trung bình tam giác ABC 

=> MN // BC 

Vậy N là trung điểm AC