Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định vị tri của điểm M trong tam giác sao cho MA+MB+MC nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.
Trong ∆ ABC ta lấy điểm M. Nối MA, MB, MC.
Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.
Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM = MN.
Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC. Khi đó, CA = CP
Xét ∆ AMC và ∆ PNC:
CM = CN (vì ΔMCN đều)
CA = CP (vì ΔAPC đều)
Suy ra: ∆ AMC = ∆ PNC (c.g.c)
⇒ PN = AM
MA + MB + MC = NP + MB + MN
Ta có ∆ ABC cho trước nên điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB = MC nhỏ nhất ?
cho tam giác ABC có các góc bé hơn 120 độ. Xác định vị trí điểm M thuộc miền trong của tam giác sao cho MA+MB+MC có giá trị nhỏ nhất
Ta dựng các tam giác đều AMP , AMN , ACE , ABD , suy ra N,P,E,D cố định.
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta APE=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow MC=PE\), \(AM=MP\)
Suy ra : \(AM+MC+BM=BM+MP+PE\ge BE\)(hằng số)
Tương tự , ta cũng chứng minh được \(AM=MN\), \(BM=DN\)
\(\Rightarrow AM+MC+MB=CM+MN+DN\ge CD\)(hằng số)
Suy ra MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của BE và CD.
Cần chú ý : Vì điều kiện các góc của tam giác nhỏ hơn 180 độ :
\(\widehat{BAC}+\widehat{CAE}< 120^o+60^o=180\)
\(\widehat{BAC}+\widehat{BAD}< 120^o+60^o=180^o\)
nên BE cắt AC tại một điểm nằm giữa A và C , CD cắt AB tại một điểm nằm giữa A và B. Do đó tồn tại giao điểm M của CD và BE.
Đây là bài toán về điểm Tô-ri-xe-li, bạn có thể xem trên mạng !
cho tam giác abc có các góc nhỏ hơn 120 vẽ phía ngoài các tam giác đều ACC' ABB" M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bwof Am về phía C' xác định điểm M' saocho tam giác AMM' đều
a, Chứng minh tam giác AMM'= tam giác AMC
b, Chứng minh MA+MB+MC= MM' + MB+M'C'
C, Tìm vị triscuar M để MA +MB+MC đạt giá trị bé nhất
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm trên cung nhỏ BC, trên tia MA lấy I sao cho MB=MI. Xác định vị trí M để MB+MC lớn nhất
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O,R). M là điểm di động trên cung nhỏ BC . D là giao điểm của AM và BC.
a, Chứng minh tam giác MBD đồng dạng với tam giác MAC
b, (MB+MC)/MA=BC/AB
c, Xác định vị trí của M để MA+MB+MC đạt giá trị lớn nhất
a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)
có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)
\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)
=> \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)
b) Từ câu a)_
=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)
\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)
Dễ dàng chứng minh đc:
\(\Delta BDM~\Delta ADC\)
=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)
Từ (1), (2), (3)
=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)
c) Lấy điểm E thuộc đoạn
Cho tam giác ABC có ba đường cao AH, BK, CI. Lấy điểm M trong tam giác. Hạ MC' vuông góc với CI, MB' vuông góc với BK, MA' vuông góc với AH. Hãy xác định vị trí của điểm M để AA'=BB'=CC'
Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M sao cho vecto MA - vecto MB + vecto MC = vecto 0
Ta thấy \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}\)
Như vậy, điểm M chính là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.
cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A( M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. câu a: chúng minh N, H, P thẳng hàng. câu b: Khi góc BOC = 120 độ, xác định vị trí của điểm M sao cho 1/MB + 1/ MC đạt giá trị nhỏ nhất