Trước tiên ta phát biểu và chứng minh một bổ đề:
Bổ đề. "Cho tam giác ABCABC và một điểm MM nằm trong tam giác. Chứng minh rằng MB+MC<AB+ACMB+MC<AB+AC."
Chứng minh. Kéo dài BMBM về phía MM cắt cạnh ACAC tại điểm NN. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
$$AN+AB>BN=BM+MN\\
MN+NC>MC$$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và trừ đi hai vế cho MNMN ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Ta xét hai trường hợp:
a) Tam giác ABCABC có ba góc nhỏ hơn 120∘120∘.
Ta dựng tam giác đều BCDBCD ở phía ngoài tam giác ABCABC.
Gọi TT là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDBCD với ADAD. Dễ dàng chứng minh rằng TT nhìn ba cạnh của tam giác ABCABC dưới ba góc bằng nhau. Ta chứng minh rằng với một điểm MM tùy ý ở trong tam giác ABCABC khác điểm TT thì ta cóMA+MB+MC>TA+TB+TCMA+MB+MC>TA+TB+TC
Thật vậy ta có MB+MC≥MDMB+MC≥MD và do đóMA+MB+MC≥MA+MD≥AD (1)MA+MB+MC≥MA+MD≥AD (1)
Mặt khác TA+TB+TC=TA+TDTA+TB+TC=TA+TD, do TT nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCDBCD. Và cuối cùng làTA+TB+TC=TA+TD=AD (2)TA+TB+TC=TA+TD=AD (2)
Từ (1)(1) và (2)(2) suy raMA+MB+MC≥TA+TB+TCMA+MB+MC≥TA+TB+TC
Đẳng thức xảy ra khi M≡TM≡T (điểm TT được gọi là điểm Toricenli của tam giác ABCABC).
b) Tam giác ABCABC có một góc, chẳng hạn ˆB≥120∘B^≥120∘.
Dựng tam giác đều BCDBCD ở phía ngoài của tam giác ABCABC.
Do ˆB≥120∘B^≥120∘ nên với mọi điểm MM tùy ý ở trong tam giác ABCABC, điểm BB nằm trong tam giác MDAMDA.
Ta có MB+MC≥MDMB+MC≥MD. Mặt khác theo bổ đề trên đối với tam giác MDAMDA ta có MA+MD≥BA+BDMA+MD≥BA+BD.
Từ đó ta cóOA+OB+OC≥OA+OD≥BA+BD=BA+BCOA+OB+OC≥OA+OD≥BA+BD=BA+BC
Như vậy khi M≡BM≡B thì tổng khoảng cách từ MM đến các đỉnh còn lại của tam giác ABCABC là nhỏ nhất. Tóm lại trong trường hợp tam giác ABCABC có một đỉnh không nhỏ hơn 120∘120∘ thì chỉnh đỉnh này là đỉnh cần tìm.
