a) GTNN = 0 khi x = -1

b) GTNN = 503 khi x =0

c) \(h\left(x\right)=\left(x+1\right)^2+\left(\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(x+1+\dfrac{1}{x+1}\right)^2=2\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+2\ge_{AM-GM}2\sqrt{2}+2\).

Đẳng thức xảy ra khi \(2\left(x+1\right)^2=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}-1\).

b) \(g\left(x\right)=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{x}=\dfrac{x^2+5x+6}{x}=\left(x+\dfrac{6}{x}\right)+5\ge_{AM-GM}2\sqrt{6}+5\).

Đẳng thức xảy ra khi x = \(\sqrt{6}\).

Câu a muốn có min thì đề bài phải là \(x\ge4\) (có dấu "=")

Còn \(x>4\) thì chắc là đề sai

Áp dụng BĐT \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\):

\(\left|x-1\right|+\left|x-100\right|\ge\left|\left(x-1\right)+\left(100-x\right)\right|=99\)

(Dấu "=" khi \(1\le x\le100\))

\(\left|x-2\right|+\left|x-99\right|\ge\left|\left(x-2\right)+\left(99-x\right)\right|=97\)

(Dấu "=" khi \(2\le x\le99\))

\(\left|x-3\right|+\left|x-98\right|\ge\left|\left(x-3\right)+\left(98-x\right)\right|=95\)

(Dấu "=" khi \(3\le x\le98\))

...

\(\left|x-49\right|+\left|x-50\right|\ge\left|\left(x-49\right)+\left(50-x\right)\right|=1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow49\le x\le50\))

Vậy \(B\ge99+97+95+...+1=\frac{\left(99+1\right)\left[\left(99-1\right):2+1\right]}{2}\)

\(=2500\)

Dấu "=" khi \(49\le x\le50\)

a) \(A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\)

\(=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\)

Áp dụng bđt \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\) ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)

=> \(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\ge1+2016=2017\)

Vậy GTNN của A là 2017 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\2-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow1\le x\le2\)

b) \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)

Có: \(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+3-x\right|=2\) (1)

Ta lại có: \(\left|x-2\right|\ge0\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(B\ge2\)

Vậy GTNN của B là 1 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}1\le x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=2\)

a) Ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x-1+2-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\ge\left|x-1+2-x\right|+2016\)

hay \(A\ge\left|1\right|+2016=1+2016=2017\)

=> \(A\ge2017\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(x\in\left\{1;2\right\}\) thì A đạt GTNN và A=2017.

b) Ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\)

hay \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+x-2+3-x\right|\)

\(\Rightarrow B\ge\left|x\right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=3\end{matrix}\right.\) (1)

Để B nhỏ nhất

=> |x| phải nhỏ nhất (2)

Từ (1) và (2)

=> x=1

khi đó:

B=|x|=|1|=1

Vậy với x=1 thì B đạt GTNN và B=1.

gtnn a là 2017 khi x=1 hoặc x=2

gtln b là 2 khi x=2

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)