Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến $PA$, $PB$ với $(O)$.
a/ Trên đoạn $AB$ lấy điểm $M$ (khác $A$ và $B$). Qua $M$ kẻ đường vuông góc với $OM$ cắt $PA$, $PB$ tại $C$ và $D$. Chứng minh $MC = MD$.
b/ Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $I$ ($I$ khác $A$ và $B$). Gọi hình chiếu vuông góc của $I$ lên $BA$, $PB$, $PA$ theo thứ tự là $H$, $K$, $L$. Chứng minh \(\Delta HIL\sim\Delta KIH\) và $KH.IL = IH.HL$.
Cho đường tròn O và điểm P nằm ngoài đường tròn, qua P kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn
A, Gọi điểm M là điểm nằm giữa A và B, đường thẳng kẻ qua M vuông góc với PA PB lần lượt tại C và D. chứng minh CM = CD.
B. Trên cung nhỏ AB, lấy điểm I, gọi H,K,L lần lượt là hình chiếu của I trên AB, PB, PA. Chứng minh IH.HL = KH.IL
Từ 1 điểm P nằm ngoài (O;R), kẻ 2 tiếp tuyến PA và PB đến O (A,B là tiếp điểm) trên dây AB lấy M bất kì, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt PA tại S và PB tại Q. CM MS=MQ
cho đường tròn (o) đường kính AB và đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ B. trên d lấy hai điểm nằm khác phía với điểm B và BC<BD.AC cắt (o) tại E, AD cắt (o) tại F.(E,F khác A) đường thẳng kẻ qua A vuông góc với EF cắt CD tại M.
a) chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. chứng minh IM vuông góc với CD.
c) gọi P là giao điểm của FE và CD. PA cắt đường tròn (o) tại K (K khác A) c/m K,B,I thẳng hàng
Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). MO cắt AB tại I. Kẻ đường kính BC của đường tròn, MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a, Chứng minh I là trung điểm AB
b, Chứng minh MA²=MK.MC và ∆MKI đồng dạng với ∆MOC
c, Lấy điểm D trên cung lớn AB (DB<DA), kẻ BH⊥AD tại H. Gọi E là giao điểm của MO với (O). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc ED cắt tia BH tại P. Chứng minh BP.OA=HP.OM
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) và OP=2R,vẽ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn (A;B là hai tiếp điểm).Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho MA<MB (M không trùng với A),qua M vẽ đường thẳng vuông góc với OM,đường thẳng này cắt PA,PB lần lượt ở C và D.
a)Chứng minh:tứ giác AMOC nội tiếp.
b)Chứng minh:Tam giác OCD cân.
c)Tia PM cắt (O) tại E và F (E nằm giữa M và P).Trong trường hợp EF=R\(\sqrt{2}\) ,hãy tính PE theo R
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ 2 tiếp tuyến PA và PB (A, B là các tiếp điểm ) . Trên dây AB lấy M bất kì. Qua M kẻ đường vuông góc với OM cắt PA tại S, PB tại Q. CM: MS=MQ
Giúp mik vs ạ, mik đang cần gấp
ta có: \(OM\perp QS\) => \(\widehat{QMO}=90^o\)
\(OB\perp PB\) (vì PB là tiếp tuyến của đường tròn tâm O) => \(\widehat{OBP}=90^o\)
tứ giác OBQM có: \(\widehat{OBQ}+\widehat{OMQ}=180^o\)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác OBQM nội tiếp đường tròn
=> \(\widehat{OBM}=\widehat{OQM}\) (vì cùng chắn cung OM nhỏ)(1)
ta lại có: tam giác OAB cân tại O (vì OA=OB=R)
=> \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\left(2\right)\)
Ta có: \(OA\perp PA\) (vì PA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O)
=> \(\widehat{OAP}=90^o\) mà góc OAP +góc OAS =180o(2 góc kề bù)
=> góc OAS =90o
tứ giác OMAS có: \(\widehat{OAS}=\widehat{OMS}\left(=90^o\right)\)
mà 2 goc snày ở vị trí kề nhua cùng nhìn cạnh OS
=> tứ giác OMAS nội tiếp
=> góc OAM = góc OMS(3)
từ (1); (2) và(3) ta có: góc OQM = góc OSM
=> Tam giác OQS cân tại O
=> đường cao OM đồng thời là đường trung tuyến
=> M là trung điểm của QS
hay MQ =MS(ĐPCM)
Cho đường tròn (O;R), dây AB cố định .Trên tia đối của AB lấy điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến MC,MD với (O) (C,D là các tiếp điểm.) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với Om cắt MC,MD theo thứ tự ở E và F
a, Chứng minh AC.BD=AD.BC
b, Xác định vị trí của M trên tia đối của AB để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất
a) dễ dàng chứng minh được MD2= MC2 = MA.MB ( bằng cách kẻ đường thẳng từ M qua O và chứng minh tam giác đồng dạng)
MC2=MA.MB => tam giác MAC đồng dạng với tam giác MCB => \(\frac{MA}{MC}=\frac{AC}{BC}\)(1)
MD2=MA.MB => tam giác MAD đồng dạng với tam giác MDB => \(\frac{MA}{MD}=\frac{AD}{BD}\)(2)
TỪ (1) và (2) => \(\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)=> AC.BD=AD.BC
b)
xét tam giác vuông MOE với đường cao OC; Đặt OM=x;
\(\frac{1}{OE^2}+\frac{1}{OM^2}=\frac{OM^2+OE^2}{OM^2.OE^2}=\frac{ME^2}{OC^2.ME^2}\)=\(\frac{1}{OC^2}\)=>\(\frac{1}{OE^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{R^2}=>OE=\frac{x.R}{\sqrt{x^2-R^2}}\)
Tam giác MCO=tam giác MDO( vì OC=OD;OM cạnh chung và góc MCO=góc MDO=90o) => góc CMO = góc DMO
tam giác MEF có MO vừa là đường cao vừa là phân giác nên MO cũng là đường trung tuyến của EF => EF=2OE
diện tích tam giác MEF là \(\frac{1}{2}OM.\)EF=OE.OM=\(\frac{x.R}{\sqrt{x^2-R^2}}x\)=R.\(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-R^2}}\)\(\ge R\).R\(\sqrt{2}\)=R2\(\sqrt{2}\)
Thật vậy \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-R^2}}\ge2\sqrt{R}< =>\frac{x^4}{x^2-R^2}\ge4R\)<=> (x2-2R)2\(\ge0\)(đúng)
=> diện tích MEF nhỏ nhất khi x2=2R <=> x=OM =\(\sqrt{2R}\)hay M là giao của (O;\(\sqrt{2R}\)) và AB (có 2 điểm M thỏa mãn)
