Ta có: \(M=\dfrac{x^5+3x^3-x^2+3x-7}{x^2+2}\)

\(=\dfrac{x^5+2x^3+x^3+2x-x^2-2+x-5}{x^2+2}\)

\(=\dfrac{x^3\left(x^2+2\right)+x\left(x^2+2\right)-\left(x^2+2\right)+\left(x-5\right)}{x^2+2}\)

\(=\dfrac{\left(x^2+2\right)\left(x^3+x-1\right)+\left(x-5\right)}{\left(x^2+2\right)}\)

\(=x^3+x-1+\dfrac{x-5}{x^2+2}\)

Để M nguyên thì \(x-5⋮x^2+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+5\right)⋮x^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-25⋮x^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2-27⋮x^2+2\)

mà \(x^2+2⋮x^2+2\)

nên \(-27⋮x^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\inƯ\left(-27\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\in\left\{1;-1;3;-3;9;-9;27;-27\right\}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\in\left\{3;9;27\right\}\)(Vì \(x^2+2\ge2\forall x\))

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{1;7;25\right\}\)

hay \(x\in\left\{1;-1;\sqrt{7};-\sqrt{7};5;-5\right\}\)

Vậy: Để M nguyên thì \(x\in\left\{1;-1;\sqrt{7};-\sqrt{7};5;-5\right\}\)

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 1$
\(A=\frac{5\sqrt{x}+3x}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}-\frac{(3\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}+\frac{7(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}\)

\(=\frac{5\sqrt{x}+3x-(3x+8\sqrt{x}-3)+(7\sqrt{x}-7)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{4(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{4}{\sqrt{x}+3}\)

Dễ thấy $A>0$

$\sqrt{x}+3\geq 3\Rightarrow A\leq \frac{4}{3}$

Vậy $0< A\leq \frac{4}{3}$. 

$A$ nguyên $\Leftrightarrow A=1\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+3}=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1$ (trái đkxđ)

Vậy không tồn tại $x$ để $A$ nguyên.

tìm giá trị x để biểu thức nguyên

D=2x-3/x+5 

E=x^2-5/x-3

a: \(A=\dfrac{x^2-5x+6-x^2+x+2x^2-6}{x\left(x-3\right)}=\dfrac{2x^2-4x}{x\left(x-3\right)}=\dfrac{2x}{x-3}\)

\(A=\) \(\dfrac{x+2}{x-5}\)

\(=\dfrac{\left(x-5\right)+7}{x-5}\)

\(=1+\dfrac{7}{x-5}\)

để \(\dfrac{7}{x-5}\) ∈Z thì 7⋮x-5

⇒x-5∈\(\left(^+_-1,^+_-7\right)\)

Còn lại thì bạn tự tính nha

a, \(\frac{3x-7}{x-2}=3x+\frac{1}{x-2}\)

Để đạt giá trị nguyên thì 1 chia hết cho X - 2 

\(\Rightarrow x-2\)là ước của 1 \(\in\left\{-1,1\right\}\)

X - 2 = -1 \(\Rightarrow\)x = 1

X - 2 = 1 \(\Rightarrow\)x = 3 

Vậy x = 1 hoặc x= 3 thì số hữu tỉ đạt giá trị nguyên 

b) \(\frac{x^2+4x+7}{x+2}=\frac{\left(x+2\right)^2+3}{x+2}=x+2+\frac{3}{x+2}\)

Dễ thấy x nguyên nên x + 2 nguyên.

\(\Rightarrow\)\(\frac{x^2+4x+7}{x+2}\inℤ\Leftrightarrow x\frac{3}{x+2}\in Z\)

\(\Rightarrow x+2\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Lập bảng:

Vậy \(x\in\left\{-5;-3;-1;1\right\}\)