Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi ⇒ ME = MF

ME = 1/2 DE (tính chất hình thoi)

MF = 1/2 AF (tính chất hình thoi)

Suy ra: DE = AF

⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

⇒ ∠ A = 90 0  ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒  ∠ A =  90 0

Hình thoi AEFD có ∠ A =  90 0  nên AEFD là hình vuông

⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vuông)

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có 2 cạnh kề bằng nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD.

* Xét tứ giác AEFD, ta có:

AB // CD (gt) hay AE // FD

AE = 1/2 AB (gt)

FD = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AE = FD

Tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

AD = AE = 1/2 AB . Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.

* Xét tứ giác AECF, ta có: AE // CF (gt)

AE = 1/2 AB (gt)

CF = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AE = CF

Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

+) Vì ABCD là hình bình hành

=> AB // CD và AB = CD

hay AE // DF và AE = DF 

=> AEFD là hình bình hành

+) Vì ABCD là hình bình hành

=> AE // FC và AE = FC

=> AECF là hình bình hành

Ta có:

\(E\) là trung điểm của  \(AB\left(gt\right)\) nên  \(EA=EB=\frac{1}{2}AB\)

\(F\) là trung điểm của  \(CD\left(gt\right)\)  nên  \(FC=FD=\frac{1}{2}CD\) 

Mà  \(AB=CD\)  (cạnh đối hình bình hành  \(ABCD\) )

nên  \(EA=FD\)   \(\left(1\right)\)

Vì  \(AB\text{//CD}\)  (theo tính chất cạnh đối hình bình hành  \(ABCD\) ) nên  \(EA\text{//FD}\)   \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)  suy ra, tứ giác  \(AEFD\) là hình bình hành  \(\left(3\right)\)

Lại có: 

 \(AB=2AD\left(gt\right)\Rightarrow AD=\frac{1}{2}AB\) 

Do đó:   \(EA=AD\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)  \(\left(4\right)\)

Từ  \(\left(3\right);\left(4\right)\)  suy ra, \(AEFD\)  là hình thoi.

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

a: Gọi F là trung điểm của DC

E là trung điểm của AB

=>\(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)

F là trung điểm của DC

=>\(FD=FC=\dfrac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AE=EB=CF=FD=AB/2

mà \(AD=BC=\dfrac{AB}{2}\)

nên \(AE=EB=CF=FD=AD=BC\)

Xét tứ giác AEFD có

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFD là hình bình hành

Hình bình hành AEFD có EA=AD

nên AEFD là hình thoi

=>EF=FD=DC/2

Xét ΔEDC có

EF là đường trung tuyến

\(EF=\dfrac{DC}{2}\)

Do đó: ΔEDC vuông tại E

=>DE\(\perp\)EC

b:

ABCD là hình bình hành

=>\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}=180^0-120^0=60^0\)

Xét ΔBEC có BE=BC và \(\widehat{B}=60^0\)

nên ΔBEC đều

=>\(\widehat{BEC}=60^0\)

\(\widehat{BEC}+\widehat{AEC}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{AEC}+60^0=180^0\)

=>\(\widehat{AEC}=180^0-60^0=120^0\)

Xét tứ giác AECD có

AE//CD

nên AECD là hình thang

Hình thang AECD có \(\widehat{EAD}=\widehat{AEC}\)

nên AECD là hình thang cân