Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AA'. Gọi E và F là hình chiếu của A' trên AC và AB.
a) CMR \(\dfrac{CE}{BF}=\dfrac{AC^3}{AB^3}\)
b) Gọi D là một điểm trên cạnh BC. M, N là hình chiếu của D trên AB, AC. CMR BD.CD = MA.MB + NA.NC
Cho tam giác ABC vuông tại A
a, Kẻ đường cao AA'. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của điểm A' trên AC và AB.
CM \(\dfrac{CE}{BF}=\dfrac{AC^3}{AB^3}\)
b, Cho D là 1 diểm trên cạnh BC; M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC.
CMR: DB.DC = MA.MB + NA.NC
bạn tự vẽ hình nha
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABCco \(AB^2=BA'^2\cdot BC,AC^2=A'C^2\cdot BC\)
\(\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BA'}{A'C}\Rightarrow\frac{AC^4}{AB^4}=\frac{A'C^2}{A'B^2}\) (1)
mà trong tam giác vuông AA'B có\(BA'^2=BF\cdot AB\)
trong tam giác vuông AA'C có \(A'C^2=EC\cdot AC\)
thay vào (1) ta co \(\frac{AC^4}{AB^4}=\frac{EC\cdot AC}{BF\cdot AB}\Rightarrow\frac{AC^3}{AB^3}=\frac{EC}{BF}\left(DPCM\right)\)
b,de dang chung minh duoc tam giac BMD~BAC
SUY RA \(\frac{BD}{BC}=\frac{BM}{BA}=\frac{MD}{AC}\) (2)
tuong tu tam giac NDC~ABC
SUY RA \(\frac{DC}{BC}=\frac{NC}{AC}=\frac{ND}{AB}\)(3)
nhan (2) voi (3) ta co \(\frac{BD\cdot DC}{BC^2}=\frac{BM\cdot ND}{AB^2}=\frac{MD\cdot NC}{AC^2}=\frac{BM\cdot ND+MD\cdot NC}{AB^2+AC^2}\)
suy ra \(BD\cdot DC=BM\cdot ND+MD\cdot NC\)
de dang cm duoc tu giac AMDN la hcn suy ra MA =ND,MD=AN
THAY VAO BIEU THUC TREN TA CO \(BD\cdot DC=MA\cdot MB+NA\cdot NC\left(DPCM\right)\)
cho tam giác ABC vuông ở A, a) kẻ đường cao AA' , E và F theo thứ tự là hình chiếu của A' trên AC , AB . cm : CE / BF = AC^3 / AB^3
b) cho D là 1 điểm trên BC ; M , N lần lượt là hình chiếu của D lên AB và AC . chứng minh BD.DC = MA . MB + NA.NC
cho tam giác ABC vuông ở A
a.kẻ đường cao AA'.gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của điểm A' trên AC và AB.cmr:\(\frac{CE}{BF}=\frac{AC^3}{AB^3}\)
b.D là 1 điểm trên cạnh BC ;M và N lần lượt là hình chiếu của điểm D trên AB và AC.cmr:DB.DC=MA.MB+NA.NC
cho tam giác ABC vuông ở A, a) kẻ đường cao AA' , E và F theo thứ tự là hình chiếu của A' trên AC , AB . cm : CE / BF = AC^3 / AB^3
b) cho D là 1 điểm trên BC ; M , N lần lượt là hình chiếu của D lên AB và AC . chứng minh BD.DC = MA . MB + NA.NC
Toán lớp 9
Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường phân giác AA', Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của A' trên AC,AB. chứng minh \(\dfrac{CE}{BF}\)= \(\dfrac{AC^2}{AB^2}\)
cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC), đường cao AH. Gọi E và F là hình chiếu của H trên trên AB và AC; O là trung điểm của BC và AO cắt EF tại I.
a) CMR: \(\dfrac{AH^2}{BE.CF}=\dfrac{AB}{AC}+\dfrac{AC}{AB}\)
b) Tính \(\dfrac{AI}{HB}+\dfrac{AI}{HC}\)
Cho Δ\(ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(AH\) . Gọi \(E\) ,\(F\) lần lượt là các hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\) . CMR:
\(a\)) \(AE.AB=AF.AC\)
\(b\)) \(\dfrac{BF}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
\(c\)) \(BC.BE.CF=AH^3\)
a)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AH^2=AE.AB\)
\(AH^2=AF.AC\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b)(\(\dfrac{BE}{CF}\) chứ)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AB^2=BH.BC\)
\(AC^2=CH.BC\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE.AB}{CF.AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
c)Áp dụng định lý Thales có:
\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BE}{BA}\Leftrightarrow BA.BH=BE.BC\)
\(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{BC}\Leftrightarrow CF.BC=CA.CH\)
\(\Rightarrow BA.CA.BH.CH=BE.CF.BC^2\)
\(\Leftrightarrow AH.BC.AH^2=BC^2.BE.BF\)
\(\Leftrightarrow BC^..BE.BF=AH^3\)
Vậy ....
a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có \(HE\bot AB\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H có \(HF\bot AC\Rightarrow AF.AC=AH^2\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b) sửa đề: \(\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
Dễ dàng chứng minh được EHAF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Ta có: \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}\)
Vì \(HF\parallel AB\) \(\Rightarrow\angle EBH=\angle FHC\)
Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{CF}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{EH}{CF}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HE.AB}{AC.CF}\left(1\right)\)
Vì \(HE\parallel AC\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{HE}\Rightarrow BE=\dfrac{AB}{AC}.HE\left(2\right)\)
Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
c) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)
\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.AH.BC\left(AB.AC=AH.BC\right)\)
\(\Rightarrow AH^3=BE.CF.BC\)
Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB = 12cm, AC = 16cm
a) Giải tam giác ABC vuông ABC
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC ( E ∈ AB, F ∈ AC). Chứng minh: \(\dfrac{AF}{CH}=\dfrac{BF}{AC}\)
c) Cho BC cố định, tìm vị trí của A để diện tích hình chữ nhật AEHF lớn nhất
Bài 1;cho tam giác ABC vuông tại A( AB>AC), kẻ phân giác BF. Gọi H là hình chiếu của điểm C trên BF, trên tia đối tia HB lấy điểm E sao cho HE=HF. gọi K là hình chiếu của F trên BC. CMR
a, so sánh FA và FC
b,chứng minh tam giác EBC vuông
c, cmr: CH,FK,AB đồng quy tại 1 điểm
Bài 2:
cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=AB, đuơng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a, so sánh AE và DE
b,chưng minh AD la phân giác góc HAC
c,đường phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE tại K. Tính BKA và BKC
d, So sánh HD và DC
e,chứng minh AB+AC<BC+AH
Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác
ABC vuông tại A, có AB = 8cm, AC = 6cm. Tia phân
giác của góc A cắt BC tại D.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC.
a) Gọi E là hình chiếu của D trên AC. Tính DE, EC
c) Gọi F là hình chiếu của D trên AB. Chứng minh
BF.AC = DE.AB