\(a+\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{a^2+a+1}{a+1}=\dfrac{4a^2+4a+4}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{3\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)^2}{4\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3\left(a+1\right)^2}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{3}{4}\left(a+1\right)\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\)

Tương tự: \(b+\dfrac{1}{b+1}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{b}\) ; \(c+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{c}\)

Nhân vế:

\(VT\ge\dfrac{27}{8}\sqrt{abc}\ge\dfrac{27}{8}\) (đpcm)

Đặt\(P=\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2+}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\) 

Bổ đề: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) (1)

Chứng minh bổ đề: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc.\dfrac{1}{abc}}=9\left(\forall a,b,c\ge0\right)\) 

Kết hợp điều kiện đề bài ta được: \(a+b+c\ge3\)

Ta có: \(\dfrac{ab^2}{1+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2\sqrt{b^2}}=\dfrac{ab}{2}\) ( AM-GM cho 2 số không âm 1 và b^2 )

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab}{2}\left(1\right)\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự: \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2}\left(2\right)\)

\(\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế thu được: \(P\ge a+b+c=3\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

Cách giải của

Bất đẳng thức sai, chẳng hạn với \(a=b=10^{-4};c=0,5-a-b\).

\(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Rightarrow abc\le1\)

\(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{1}{1+a\left(ab+ac\right)}=\dfrac{1}{1+a\left(3-bc\right)}=\dfrac{1}{1+3a-abc}=\dfrac{1}{3a+\left(1-abc\right)}\le\dfrac{1}{3a}\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\le\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3c}=\dfrac{ab+bc+ca}{3abc}=\dfrac{3}{3abc}=\dfrac{1}{abc}\)

Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai

Chia 2 vế cho \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\) BĐT trở thành:

\(\dfrac{1}{a^4\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{b^4\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{c^4\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)

\(\dfrac{1}{a^4\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{x^4}{\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{x^4yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=\dfrac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

Do đó BĐT trở thành:

\(\dfrac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{y^3}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Một bài toán quen thuộc