Biến đổi tương đương nhé bạn.

a: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\)

\(=x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)

Nhân hai vế của đẳng thức với 2 :
2x^2 + 2y^2 - 2xy = (x^2 - 2xy + y^2)+y^2 + x^2 = (x - y)^2 + x^2 + y^2 >= 0
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0

Cả hai vế của đẳng thức nhân 2

2x² + 2y² - 2xy = ( x² - 2xy + y² ) + y² + x² = ( x - y )² + x² + y² \(\ge\)0

Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = 0

k cho mình nha mọi người

BĐT tương đương vs:

\(2x^2+2y^2-2xy\ge2x+2y-2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

\(\text{BĐT đã được chứng minh}\)

Dễ thấy:

     \(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)

Áp dụng Cô-si:

     \(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)

Do đó:

     \(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)

CMR : a) Có thể tìm được số có dạng 199119911991...19910...0 chia hết cho 1992

Help

(x-y)^2 >= 0 ; (y-z)^2 >= 0 ; (x-z)^2 >= 0

=>(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2 >= 0

=>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz >= 0

=>2x^2+2y^2+2z^2 >= 2xy+2yz+2xz

=>x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+xz

nhần đổi của  về rùi chuyển vế bạn sẽ dc (x-y)^2 + (y-z)^2 + (Z-X) ^2 >=0 dáu = xảy ra khi x=y=z , xong nhá

giả sử x^2+y^2+z^2>/xy+yz+xz

<=> 2x^2+2y^2+2x^2>/ 2xy+2yz+2xz (nhân 2 vế cho 2)

<=> (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2xz+z^2)+(y^2-2yz+z^2)>/0

<=> (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2>/0 (đúng)

vậy x^2+y^2+z^2>/xy+yz+xz