Ta có \(x,y>1\) và thoả mãn \(A=\frac{x^3+y^3-x^2-y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}.\)

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}\cdot4\left(y-1\right)}=4x,\) 

và \(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x-1}\cdot4\left(x-1\right)}=4y.\)

Cộng hai bất đẳng thức lại ta được \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4\left(x+y-2\right)\ge4\left(x+y\right)\to A\ge8.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2\left(y-1\right),y=2\left(x-1\right)\to x=y=2.\) Vậy giá trị bé nhất của biểu thức \(A\)là \(8.\)

\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:

\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1

Vậy..................

A = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\) 

<=> A(2x + y + 2) = 2x + 3y 

<=> 2x.A + y.A + 2.A = 2x + 3y

<=> 2x(1 - A) + (3 - A).y = 2.A

Áp dụng BĐT Bunhia côp xki ta có: [2x.(1 - A) + ( 3 - A).y]² < (4x² + y²) .[(1 - A)² + (3 - A)²] 

=> (2.A)² < 2A² -8A + 10

<=> - 2A² - 8A  + 10 > 0

<=> A² + 4A - 5 < 0 

<=> (A - 1).(A + 5) < 0 <=> -5 < A < 1

Vậy Min A = -5 . giải hệ -5 = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\); 4x² + y² = 1 => x ; y

Max A = 1 tại....

Đề như này pk em?

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)

Áp dụng bđt Svac-xơ có:

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu = xảy ra <=>\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\) và x+y=1

Ta có : \(\dfrac{a^2.1}{x}+\dfrac{b^2.1}{y}=\dfrac{a^2\left(x+y\right)}{x}+\dfrac{b^2\left(x+y\right)}{y}\) = \(a^2+\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}+b^2\) = \(\left(\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}\right)+a^2+b^2\)

Các số dương \(\dfrac{a^2y}{x}\) và \(\dfrac{b^2x}{y}\) có tích không đổi nên tổng của chung nhỏ nhất khi và chỉ khi 

\(\dfrac{a^2y}{x}=\dfrac{b^2x}{y}\Leftrightarrow a^2y^2=b^2x^2\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow a\left(1-x\right)=bx\)

⇔ \(x=\dfrac{a}{a+b}\) ; \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

Vậy GTNN của biểu thức \(\left(a+b\right)^2\) khi \(x=\dfrac{a}{a+b}\) và \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

Ta có: \(A=1-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=1-\frac{1}{x^2y^2}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=1+\frac{2}{xy}\)

Mà: \(x,y>0;x+y=1\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Lúc đó: \(A=1+\frac{2}{xy}\ge1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)

Vậy \(Min_A=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Tặng lì xì năm ms  nè nhưng thôi tớ giải đc rồi dù sao cảm ơn cậu :))) @huyền

Cách khác:V theo cách của cô tớ hơi lạ =_=:)))

Ta có x + y = 1 => \(\hept{\begin{cases}x-1=-y\\y-1=-x\end{cases}}\Rightarrow\)  tương đương vs biểu thức sau :

\(\frac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x^2y^2}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(y-1\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}\)

\(=\frac{\left(-y\right)\left(x+1\right)\left(-x\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)=xy+x+y+1}{xy}=1+\frac{2}{xy}\)

Mà 1 = x + y và x + y > 2 Vxy => (x + y) ² > 4xy do đó 1 = (x+y)²> 4xy

\(\frac{\Rightarrow1}{4xy}\ge\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\Rightarrow\frac{2}{xy}\ge8\Rightarrow\)

MinA = 9 khi x=y=1/2

\(A=\dfrac{2x^2+2y^2+12xy}{x+y}=\dfrac{\left(2x^2+2y^2+4xy\right)+8xy}{x+y}=\dfrac{2\left(x+y\right)^2+2}{x+y}\)

Đặt x + y = t (t > 0)

\(\Rightarrow A=\dfrac{2t^2+2}{t}=\dfrac{\left(2t^2-4t+2\right)+4t}{t}=\dfrac{2\left(t-1\right)^2}{t}+4\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(x^2=p\left(0\le p\le1\right)\)

Ta có : \(P=\frac{p}{2-p}+\frac{1-p}{1+p}=-2+\frac{2}{2-p}+\frac{2}{1+p}\)

\(=-2+2\left(\frac{1}{2-p}+\frac{1}{1+p}\right)=2\left(\frac{3}{\left(2-p\right)\left(1+p\right)}-1\right)\)

\(=2\left(\frac{3}{2+p\left(1-p\right)}-1\right)\)

Do \(0\le p\le1\Rightarrow p\left(1-p\right)\ge0\) \(\Rightarrow P\le2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\) có MAX là 1

Ta có : \(p\left(1-p\right)\le\frac{\left(p+1-p\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge2\left(\frac{3}{2+\frac{1}{4}}-1\right)=\frac{2}{3}\)Có MIN là \(\frac{2}{3}\)

\(M=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=x^2-xy+y^2=\left(1-y\right)^2-\left(1-y\right)y+y^2\)

\(=3y^2-3y+1=\left(3y^2-3y+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}\)

\(=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)

Vậy GTNN là \(\frac{1}{4}\) dạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)