TK: Toán 8 - đa thức, chia hết | Cộng đồng Học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum

Lời giải:

Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ với $a_i\in\mathbb{Z}$ khi $i=\overline{0,n}$

$f(a)-f(b)=(a_0+a_1.a+a_2a^2+...+a_na^n)-(a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n)$

$=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)$

b. Theo kq phần a thì $f(19)-f(5)\vdots (19-5)\vdots 7$

Mà $f(5)\vdots 7$ nên $f(19)\vdots 7$ hay $15\vdots 7$ (vô lý)

Do đó không thể xảy ra đồng thời hệ thức trên.

Vì $a^i-b^i$ với mọi $i=1,2,..,n$ đều chia hết cho $a-b$ theo phân tích trong hằng đẳng thức đáng nhớ

$\Rightarrow f(a)-f(b)\vdots a-b$

b.

Lời giải:

Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_nx^n$ với $a_i$ nguyên với $i=\overline{0,n}$

Ta có:

\(f(a)=a_0+a_1a+a_2a^2+...+a_na^n; f(b)=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n\)

\(\Rightarrow f(a)-f(b)=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)\)

Dễ thấy: $a^j-b^j\vdots a-b$ với mọi $j\geq 1$ nên $f(a)-f(b)\vdots a-b$

 Ta có đpcm.

Giả sử \(f\left(x\right)=m_nx^n+m_{n-1}x^{n-1}+...+m_1x+m_0\) với \(m_0;m_1;...;m_n\in Z\).

Ta có \(f\left(a\right)-f\left(b\right)=m_n\left(a^n-b^n\right)+m_{n-1}\left(a^{n-1}-b^{n-1}\right)+...+m_1\left(a-b\right)\).

Dễ thấy tổng trên chia hết cho a - b với mọi a, b nguyên.

Vậy ta có đpcm.

Áp dụng công thức:  (m – n). ( m+ n) = m² – n² => m² – n² chia hết (m – n)

Ta có : f(x)=ax²- bx + c

=> Tính chất: f (m) – f(n) chia hết ( m – n)

Ta có:

 f(104) – f(9) chia hết 105

=> f(104) – f(9) chia hết 5

=> f(104) chia hết 5

Mặt khác:

f(104) – f(5) chia hết 99

=> f(104) – f(5) chia hết 9

=> f(104) chia hết 9

Vậy f(104) chia hết (5.9) = 45 

Đặt \(g\left(x\right)=32x-142\).

Ta có \(f\left(5\right)-g\left(5\right)=f\left(6\right)-g\left(6\right)=0\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)\).

\(\Rightarrow f\left(11\right)=g\left(11\right)+Q\left(x\right).30=210+Q\left(x\right).30⋮30\).

Mình làm theo kiểu khác để cho bạn rõ hơn:

Đặt \(g\left(x\right)=32x-142\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(5\right)=18\\g\left(6\right)=50\end{matrix}\right.\).

Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)\). Khi đó \(h\left(5\right)=f\left(5\right)-g\left(5\right)=18-18=0;h\left(6\right)=f\left(6\right)=g\left(6\right)=50-50=0\).

Do \(h\left(5\right)=h\left(6\right)=0\) nên \(h\left(x\right)\) chia hết cho hai đa thức \(x-5\) và \(x-6\) (đoạn này mình mong bạn hiểu).

Từ đó tồn tại Q(x) sao cho \(h\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(x-6\right)Q\left(x\right)\).

Suy ra \(f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)=32x-142+\left(x-5\right)\left(x-6\right)Q\left(x\right)\Rightarrow f\left(11\right)=32.11-142+5.6.Q\left(x\right)=210+30.Q\left(6\right)\).

Do f(x) có các hệ số nguyên, g(x) có các hệ số nguyên nên h(x) cũng có các hệ số nguyên.

Do đó Q(x) cũng có các hệ số nguyên.

Suy ra \(f\left(6\right)=210+30.Q\left(x\right)⋮30\).

Áp dụng công thức:  (m – n). ( m+ n) = m² – n² => m² – n² chia hết (m – n)

Ta có : f(x)=ax²- bx + c

=> Tính chất: f (m) – f(n) chia hết ( m – n)

Ta có:

 f(104) – f(9) chia hết 105

=> f(104) – f(9) chia hết 5

=> f(104) chia hết 5

Mặt khác:

f(104) – f(5) chia hết 99

=> f(104) – f(5) chia hết 9

=> f(104) chia hết 9

Vậy f(104) chia hết (5.9) = 45 

  a)    Ta có:\(x.f\left(x+1\right)=\left(x+2\right).f\left(x\right)\)

   +)Thay \(x=0\) ta có:\(2.f\left(0\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(0\right)=0\)

     Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=0 (1)

   +)Thay \(x=-2\) ta có:\(-2.f\left(-1\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(-1\right)=0\)

     Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=-1 (2)

Từ (1),(2)

    \(\implies\) đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất hai nghiệm

b)Ta có:\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

+)Với x=0 \(\implies\) \(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c:2007\left(1\right)\)

+)Với x=1 \(\implies\) \(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c:2007\left(2\right)\)

+)Với x=-1 \(\implies\) \(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2-b.1+c=a-b+c:2007\left(3\right)\)

Từ (2);(3) cộng vế với vế ta được:

                  \(\implies\) \(f\left(1\right)+f\left(-1\right)=a+b+c+a-b+c\)

                                                           \(=2a+2c\)

                                                           \(=2.\left(a+c\right):2007\)

    mà \(\left(2,2007\right)=1\)\(\implies\) \(a+c:2007\) \(\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(4\right)\) \(\implies\) \(a:2007\) \(\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right),\left(2\right)\) \(\implies\) \(b:2007\) \(\left(6\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(5\right),\left(6\right)\) \(\implies\) các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2007\(\left(đpcm\right)\)