Đặt \(g\left(x\right)=32x-142\).
Ta có \(f\left(5\right)-g\left(5\right)=f\left(6\right)-g\left(6\right)=0\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)\).
\(\Rightarrow f\left(11\right)=g\left(11\right)+Q\left(x\right).30=210+Q\left(x\right).30⋮30\).
Mình làm theo kiểu khác để cho bạn rõ hơn:
Đặt \(g\left(x\right)=32x-142\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(5\right)=18\\g\left(6\right)=50\end{matrix}\right.\).
Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)\). Khi đó \(h\left(5\right)=f\left(5\right)-g\left(5\right)=18-18=0;h\left(6\right)=f\left(6\right)=g\left(6\right)=50-50=0\).
Do \(h\left(5\right)=h\left(6\right)=0\) nên \(h\left(x\right)\) chia hết cho hai đa thức \(x-5\) và \(x-6\) (đoạn này mình mong bạn hiểu).
Từ đó tồn tại Q(x) sao cho \(h\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(x-6\right)Q\left(x\right)\).
Suy ra \(f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)=32x-142+\left(x-5\right)\left(x-6\right)Q\left(x\right)\Rightarrow f\left(11\right)=32.11-142+5.6.Q\left(x\right)=210+30.Q\left(6\right)\).
Do f(x) có các hệ số nguyên, g(x) có các hệ số nguyên nên h(x) cũng có các hệ số nguyên.
Do đó Q(x) cũng có các hệ số nguyên.
Suy ra \(f\left(6\right)=210+30.Q\left(x\right)⋮30\).
