Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AB.AM=AH^2\)

\(AC.AN=AH^2\)

suy ra:  \(AB.AM=AC.AN\) (đpcm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH với đường cao BM:

\(AH^2=AM.AB\) (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao CN:

\(AH^2=AN.AC\) (2)

(1);(2)\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

+Xét tứ giác ANHM:

AMH^ = 90o (HM _|_ AB)

ANH^ = 90o (HN _|_ AC)

=> AMH^ + ANH^ = 180o => tứ giác ANHM nội tiếp

+ Ta có: AMN^ = AHN^ (cùng chắn cung AN của (ANHM))

AHN^ = ACB^ (cùng phụ HNC^)

=> AMN^ = ACB^

+Xét tam giác AMN và tam giác ACB:

A^ chung (gt);

AMN^ = ACB^ (cmt)

=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB\cdot AM=AN\cdot AC\left(đpcm\right)\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC=3/5

=>cos C=căn 1-(3/5)^2=4/5

=>AC/BC=4/5

=>BC=20(cm)

\(AB=\sqrt{20^2-16^2}=12\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên CH*CB=CA^2

=>CH*20=16^2=256

=>CH=12,8(cm)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

=>AM/AC=AN/AB

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

AM/AC=AN/AB

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

a: góc NED+góc NCD=180 độ

=>NEDC nội tiếp

b: ΔAHB vuôg tại H có HM vuông góc AB

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN vuông góc AC

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AM.AB=AH^2$
$AN.AC=AH^2$

$\Rightarrow AM.AB=AN.AC$ (đpcm)

b.

Vì $AM.AB=AN.AC\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB$ (c.g.c)

Ta có đpcm.

Hình vẽ: