Giải

Điều kiện xác định phương trình:

\(a+b\ne0\) ; \(a+c\ne0\) ; \(b+c\ne0\)

\(\frac{x-ab}{a+b}+\frac{x-ac}{a+c}+\frac{x-bc}{b+c}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-ab}{a+b}-c\right)+\left(\frac{x-ac}{a+c}-b\right)+\left(\frac{x-bc}{b+c}-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\frac{x-ac-cb-bc}{a+c}+\frac{x-bc-ab-ac}{b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-ab-bc-ca\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=0\)

Chẳng hạn ta chọn a = 1 ; b = 1. Để \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=0\) xảy ra ta chọn c sao cho:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{1+c}=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow c=-5\)

Như vậy phương trình có vô số nghiệm, chẳng hạn khi a = 1 ; b = 1 ; c = -5

Đây nhé: https://olm.vn/hoi-dap/question/77888.html

đăngg nhiều vậy linh, mà  đã làm đến đề đó rồi cơ à chăm thế

cong lai nhu phep cong tuy hoi do nhung van ra

khó quá, không giải được

Em không chắc lắm

\(ĐKCĐ:a+b\ne0;a+c\ne0;b+c\ne0\)

\(\frac{x-ab}{a+b}+\frac{c-ac}{a+c}+\frac{x-bc}{b+c}=a+b+c\) (1)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-ab}{a+b}-c\right)+\left(\frac{x-ac}{a+c}-b\right)+\left(\frac{x-bc}{b+c}-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\frac{x-ac-ab-bc}{a+c}+\frac{x-bc-ab-ac}{b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-ab-bc-ac\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=0\)

Phương trình (1) vô số nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=0\) (2)

Ví dụ ta chọn a = 1 ; b = 1. Để (2) xảy ra ta chọn c sao cho:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{1+c}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow c=-5\)

Vậy phương trình (1) vô số nghiệm chẳng hạn như a = 1; b = 1; c = -5

P/S: Em làm còn nhiều sai sót, mong các anh chị bỏ qua ạ

Nhìn qua thì anh thấy em làm tốt rồi

Nhưng làm toán ai lại có chữ " Chẳng hạn "

Như ở cuối bài

Em nên rút kinh nghiệm

34, Quảng Ninh

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn x + y + z < 1

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

Ta có bđt sau : \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\left(a;b>0\right)\)

Áp dụng ta được \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

                                \(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{xy+yz+zx}\)

                                \(\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

                               \(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6051}{\left(x+y+z\right)^2}\)

                                \(=\frac{6060}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6060}{1}=6060\)

Dấu "=" tại x = y = z = 1/3

39, Chuyên Hưng Yên

Với x;y là các số thực thỏa mãn \(\left(x+2\right)\left(y-1\right)=\frac{9}{4}\)

Tìm \(A_{min}=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

Ta có \(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

              \(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)

Đặt  \(\hept{\begin{cases}x+1=a\\y-2=b\end{cases}}\)

Thì \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\)và giả thiết đã cho trở thành \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{2}\)

Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\)(1)

Thật vậy

 \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}+z^2+t^2\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)

         \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2}\ge xz+yt\)

*Nếu xz + yt < 0 thì bđt luôn đúng

*Nếu xz + yt > 0 thì bđt tương đương với

\(x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+2xyzt+y^2t^2\)

 \(\Leftrightarrow x^2t^2-2xyzt+y^2z^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xt-yz\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy bđt (1) được chứng minh

Áp dụng (1) ta được \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)

                                                                                              \(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\)

Ta có \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b+1=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b=\frac{5}{4}\)

Áp dụng bđt Cô-si có \(a^2+b^2\ge2ab\)

                                   \(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a\)

                                  \(2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)

Cộng 3 vế vào được

\(3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(ab+a+b\right)=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Khi đó \(A\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{3}\)

Dấu ''=" tại \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x+1=\frac{1}{2}\\y-2=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

38, Hưng Yên

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3xyz\)

Tìm \(P_{max}=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)(Chỗ này phân số thứ 2 đề ở tử là y² không phải y⁴ cô nhé )

                         Giải

Áp dụng bđt Cô-si có

\(x^4+yz\ge2x^2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)

Áp dụng bđt Cô-si \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)

                    \(\Rightarrow\frac{1}{2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự \(\frac{y^2}{y^4+zx}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\) 

                 \(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Khi đó \(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

                                                                                                       \(=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)

                                                                                                       \(\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\)

                                                                                                        \(=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" tại x = y = z =1

\(x^2+x+13=y^2\Leftrightarrow4x^2+4x+52=4y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+51=\left(2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=51\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=51\)

\(\Leftrightarrow...\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+16x+18}=a\\\sqrt{x^2-1}=b\\2x+4=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a^2+2b^2=c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\2b^2=\left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2b^2=b\left(c+a\right)\Leftrightarrow b\left(c+a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\Leftrightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=...\\c+a=2b\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (1) với pt ban đầu ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow c+a=2\left(c-a\right)\Rightarrow c=3a\)

\(\Rightarrow3\sqrt{2x^2+16x+18}=2x+4\left(x\ge-2\right)\)

\(\Leftrightarrow9\left(2x^2+16x+18\right)=\left(2x+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=y\left(x+y\right)\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+y=0\)

\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(ktm\right)\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=1-x\)

Thế vào pt đầu:

\(x^2-\left(1-x\right)+1=0\Leftrightarrow...\)

Đặt vế trái biểu thức là P

Ta có: \(P=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(P=\frac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(P=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2\left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3}=\frac{\frac{4}{3}.3^2}{2.8}=\frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)