Bài 1: a Tìm các giá trị nguyên dương (x;y) của pt \(x^2+x+13=y^2\) b cho 3 số nguyên dương a,b,c thảo mãn a>1 và \(2^a=b^c+1\) chứng minh c=1
Bài 2 : a giai pt sau \(\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4\) b giải hệ pt sau : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y\left(x+y\right)+1=0\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)+y=0\end{matrix}\right.\)
Bài 3 : cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c =3 CMR \(\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\ge\frac{3}{4}\)
\(x^2+x+13=y^2\Leftrightarrow4x^2+4x+52=4y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+51=\left(2y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=51\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=51\)
\(\Leftrightarrow...\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+16x+18}=a\\\sqrt{x^2-1}=b\\2x+4=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a^2+2b^2=c^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\2b^2=\left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2b^2=b\left(c+a\right)\Leftrightarrow b\left(c+a-2b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\Leftrightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=...\\c+a=2b\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Kết hợp (1) với pt ban đầu ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c+a=2\left(c-a\right)\Rightarrow c=3a\)
\(\Rightarrow3\sqrt{2x^2+16x+18}=2x+4\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow9\left(2x^2+16x+18\right)=\left(2x+4\right)^2\)
\(\Leftrightarrow...\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=y\left(x+y\right)\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)+y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+y=0\)
\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x+y-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(ktm\right)\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y=1-x\)
Thế vào pt đầu:
\(x^2-\left(1-x\right)+1=0\Leftrightarrow...\)
Đặt vế trái biểu thức là P
Ta có: \(P=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(P=\frac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(P=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2\left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3}=\frac{\frac{4}{3}.3^2}{2.8}=\frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Câu 1b:
Dễ thấy $b$ lẻ.
Với $a>1$ thì $b^c+1=2^a\equiv 0\pmod 4$
$\Rightarrow b^c\equiv 3\pmod 4$
Nếu $c$ chẵn thì $b^c$ là scp không thể chia $4$ dư $3$. Do đó $c$ lẻ.
Nếu $c=1$ thì hiển nhiên tồn tại $a,b$ nguyên dương sao cho $2^a=b+1$
Nếu $c\neq 1$ thì $c\geq 3$
Ta có:
$2^a=b^c+1=(b+1)(b^{c-1}+...+1)$
Khi đó, tồn tại $m,n\in\mathbb{N}^*$ sao cho:
\(\left\{\begin{matrix} b+1=2^m\\ b^{c-1}+...+1=2^n\end{matrix}\right.(m+n=a)\)
$b+1=2^m\Leftrightarrow b\equiv -1\pmod {2^m}$
$\Rightarrow b^{c-1}\equiv 1\pmod {2^m}$ (do $c$ lẻ)
$b^{c-2}\equiv -1\pmod {2^m}$......
$\Rightarrow 2^n=b^{c-1}+...+1\equiv 1\pmod {2^m}$
$\Leftrightarrow 2^n-1\vdots 2^m$
Rõ ràng điều này vô lý với mọi $m,n$ là số nguyên dương.
Vậy $c=1$ (đpcm)
