Lời giải:

Từ \(a+b+c+ab+bc+ac=0\)

\(\Rightarrow a+b+c+ab+bc+ac+abc+1=1\)

\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=1\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+1=x\\ b+1=y\\ c+1=z\end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1\)

Biểu thức trở thành:

\(A=\frac{1}{(a+2)+a+b+ab+1}+\frac{1}{(b+2)+b+c+bc+1}+\frac{1}{(c+2)+c+a+ac+1}\)

\(A=\frac{1}{(a+2)+(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+2)+(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+2)+(c+1)(a+1)}\)

\(A=\frac{1}{x+1+xy}+\frac{1}{y+1+yz}+\frac{1}{z+1+zx}\)

\(A=\frac{z}{xz+z+xyz}+\frac{zx}{yxz+xz+yz.xz}+\frac{1}{z+1+xz}\)

hay \(A=\frac{z}{xz+z+1}+\frac{xz}{1+xz+z}+\frac{1}{z+1+xz}\) (thay \(xyz=1\))

\(\Leftrightarrow A=\frac{z+xz+1}{xz+z+1}=1\)

Vậy \(A=1\)

dễ ợt mày ngu thế

bc+1/c = ca+1/c => bc + 1 = ca + 1 <=> bc = ca <=> b = a

minh chi lam đc 1 cai thoi

tỉ số thứ 3 hình như sai thì phải

Ta có đẳng thức quen thuộc: \(\frac{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=1\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)}{z}+\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(z+x\right)}{y}+2=\frac{\left(x+y\right)}{z}.\frac{\left(y+z\right)}{x}.\frac{\left(z+x\right)}{y}\)

Đặt \(\frac{x+y}{z}=a;\frac{y+z}{x}=b;\frac{z+x}{y}=c\) thì ta thu được giả thiết.

Vậy tồn tại các số x, y, z > 0 sao cho \(a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\) 

BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT\le\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)=\frac{3}{2}\)

P/s: Em không chắc về cách trình bày ở chỗ phần đặt..., nhưng cách đặt trên luôn tồn tại đó!

Cách khác tự nhiên hơn!

\(a+b+c+2=abc\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a+1};\frac{1}{b+1};\frac{1}{c+1}\right)=\left(z;x;y\right)\text{ thì }x+y+z=1\Rightarrow a=\frac{1-z}{z}=\frac{x+y}{z}\)

Tương tự: \(b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\). Rồi giải như bài ban nãy.

Từ \(abc=1\Rightarrow a=\frac{1}{bc}\) thay vào ta có:

\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{\frac{1}{bc}}{\frac{1}{bc}\cdot b+\frac{1}{bc}+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{\frac{1}{bc}\cdot c+c+1}\)

\(=\frac{1}{bc\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}+1\right)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{\frac{1}{b}+c+1}\)

\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{b\left(\frac{1}{b}+c+1\right)}\)

\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}\)

\(=\frac{1+b+bc}{bc+b+1}=1\)

a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1)

=abc/(ab+a+1)bc+b/(bc+b+1)+bc/(ac+c+1)b

=1/(abcb+abc+bc)+b/(bc+b+1)+bc/(abc+bc+b)

=1/(bc+b+1)+b/(bc+b+1)+bc/(bc+b+1)

=(bc+b+1)/(bc+b+1)=1

Ta có: \(ab+bc+ac=abc+a+b+c\)

\(\Leftrightarrow ab-abc+bc-b+ac-a-c=0\)

\(\Leftrightarrow ab-abc+bc-b+ac-a+1-c=1\)

\(\Leftrightarrow ab\left(1-c\right)+b\left(c-1\right)+a\left(c-1\right)+\left(1-c\right)=1\)

\(\Leftrightarrow ab\left(1-c\right)-b\left(1-c\right)-a\left(1-c\right)+\left(1-c\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-c\right)\left(ab-b-a+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=1\)

Ta có thể đặt x=1-a ; y=1-b; z=1-c => xyz=1

Nhưng trong đẳng thức cần chứng minh theo x;y;z

=> Thế: a=1-x; b=1-y; c=1-z vào được:

\(\frac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}=\frac{1}{3+\left(1-x\right)\left(1-y\right)-2\left(1-x\right)-\left(1-y\right)}=\frac{1}{1+x+xy}\)

Tương tự: \(\frac{1}{3+bc-\left(2b+c\right)}=\frac{1}{3+\left(1-y\right)\left(1-z\right)-2\left(1-y\right)-\left(1-z\right)}=\frac{1}{1+y+yz}\)

                  \(\frac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=\frac{1}{3+\left(1-x\right)\left(1-z\right)-2\left(1-z\right)-\left(1-x\right)}=\frac{1}{1+z+zx}\)

Theo giả thiết xuz=1

=> \(VT=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}\)

             \(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+xyz}+\frac{xy}{xy+xyz+x^2yz}\)

            \(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+1}+\frac{xy}{xy+1+x}\)

            \(=\frac{1+x+xy}{1+x+xy}=1=VP\)

Trả lời hộ mình đi