Cho sửa lại đề tí ==* , câu b) là c/m MR // AO => MC // AO :>

a. Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN ( tính chất tam giác cân )

Vậy \(OA\perp MN\)

b. Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên góc (CMN) = 90^o

Suy ra: \(NM\perp MC\)

Mà \(OA\perp MN\)(chứng minh trên)

Suy ra: OA // MC

c. Ta có: \(AN\perp NC\) (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AON ta có :

AO² = AN² + ON²

Suy ra : AN² = AO² – ON² = 5² – 3² = 16

AN = 4 (cm)

Suy ra: AM = AN = 4 (cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN

Ta có: \(MH=NH=\frac{MN}{2}\) (tính chất tam giác cân)

Tam giác AON vuông tại N có \(NH\perp AO\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OA . NH = AN . ON => \(NH=\frac{\left(AN.ON\right)}{AO}=\frac{\left(4.3\right)}{5}=2,4\)

MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm)

Vậy .....................

a) ta có : AN = AM (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A

OA là tia phân giác cũng là đường cao

\(\Rightarrow\) OA \(\perp\) MN (đpcm)

b) đặc H là giao điểm của MN và AO

ta có MH = HN (OA \(\perp\) MN \(\Rightarrow\) H là trung điểm MN)

mà CO = CN = R

\(\Rightarrow\) OH là đường trung bình của tam giác MNC

\(\Rightarrow\) OH // MC \(\Leftrightarrow\) MC // OA (đpcm)

c) OM = ON = R \(\Rightarrow\) ON = 3 (cm)

ta có : ON² + AN² = AO² (pytago) \(\Rightarrow\) AN² = AO² - ON²

= 5² - 3² = 25 - 9 = 16 \(\Rightarrow\) AN = \(\sqrt{16}=4\) (cm)

ta có : AO.HN = AN.NO (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow\) 5HN = 4.3 = 12 \(\Rightarrow\) HN = \(\dfrac{12}{5}=2,4\) (cm)

ta có MN = 2HN = 2.2,4 = 4,8 (H là trung điểm MN)

vậy AM = AN = 4(cm) ; MN = 4,8(cm)

làm nhanh thi thôi

a) Ta có : OM = ON ( =R )

=> O thuộc trung trực của MN (1)

AM = AN ( tính chất 2 tt cắt nhau )

=> A thuộc trung trực của MN (2)

Từ (1) và (2) => OA là đường trung trực của đoạn thẳng MN

Vậy : \(OA\perp MN\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác MNC , ta có : MO = NO = OC ( =bk )

\(\Rightarrow MO=\frac{1}{2}NC\Rightarrow\Delta MNC\)vuông tại M

\(\Rightarrow MC\perp MN\left(3\right)\)

Theo ( c/m câu a ) : \(OA\perp MN\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) => MC // AO ( đpcm )

c) Áp dụng đlí Py -ta - go cho tam giác AMO vuông tại M , ta có :

\(OA^2=AM^2+MO^2\)

\(AM^2=OA^2-MO^2=5^2-3^2=16\)

\(AM^2=16\Rightarrow AM=4\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AMO vuông tại M , đường cao MI :

Ta có : AM . MO = AO . MI

\(MI=\frac{AM.MO}{AO}=\frac{4.3}{5}=2,4\)

\(\Rightarrow MN=2.MI=2.2,4=4,8\)

Vậy : AM = AN = 4cm

         MN = 4,8 cm

Ta có: AN ⊥ NC (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AON ta có :

A O 2 = A N 2 + O N 2

Suy ra : A N 2 = A O 2 - O N 2 = 5 2 - 3 2  = 16

AN = 4 (cm)

Suy ra: AM = AN = 4 (cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN

Ta có: MH = NH = MN/2 (tính chất tam giác cân)

Tam giác AON vuông tại N có NH ⊥ AO. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OA.NH = AN.ON ⇒ NH = (AN.ON)/AO = (4.3)/5 = 2,4 (cm)

MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm)

a) Ta có: AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên ΔABC cân tại A.

Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).

Xét ΔCBD có :

CI = IB

CO = OD (bán kính)

⇒ BD // HO (HO là đường trung bình của BCD) ⇒ BD // AO.

c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC:

A C 2   =   O A 2   –   O C 2   =   4 2   –   2 2   =   12

=> AC = √12 = 2√3 (cm)

Do đó AB = BC = AC = 2√3 (cm).

a) Xét (O) có 

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

AN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: AM=AN; OM=ON(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AM=AN(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OM=ON(cmt)

nên O nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

hay AO⊥MN(đpcm)

b) Xét (O) có 

ΔMNC nội tiếp đường tròn(C,M,N∈(O))

NC là đường kính

Do đó: ΔMNC vuông tại M(Định lí)

⇒MN⊥MC

Ta có: MN⊥MC(cmt)

MN⊥AO(cmt)

Do đó: MC//AO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

c) Áp dụng định lí Pytago vào ΔOMA vuông tại M, ta được:

\(OA^2=OM^2+MA^2\)

\(\Leftrightarrow AM^2=OA^2-OM^2=5^2-3^2=16\)

hay \(AM=\sqrt{16}=4cm\)

mà AM=AN(cmt)

nên AN=4cm

Gọi H là giao điểm của MN và AO

mà MN⊥AO tại trung điểm của MN

nên H là trung điểm của MN và MH⊥AO tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAMO vuông tại M, ta được:

\(MH\cdot AO=MO\cdot MA\)

\(\Leftrightarrow MH\cdot5=4\cdot3=12\)

hay MH=2,4cm

mà \(MN=2\cdot MH\)(H là trung điểm chung của MN)

nên \(MN=2\cdot2.4=4.8cm\)

Chu vi tam giác AMN là: 

\(C=AM+AN+MN=5+5+4.8=14.8cm\)

a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên AB=AC ⇒ ΔABC cân tại A.

Ta có AO là đường phân giác của góc ∠BAC của tam giác cân ABC nên AO cũng là đường cao.Suy ra OA ⊥ BC (tính chất của tam giác cân).

b) Gọi I là giao điểm của AO với BC

Ta có: ΔIBA = ΔICA (Cạnh huyền góc nhọn)

⇒IB = IC

Trong ΔBCD ta có:

IB = ID

OC = OD

 ⇒ OI là đường trung bình của Δ BCD

Nên OI//BD hay AO//BD

Vậy AO//BD(đpcm)

c) Vì AB là tiếp tuyển của (O) với B là tiếp điểm nên AB ⊥ OB và AB = AC

Vậy ΔOAB vuông tại B.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAB, ta có:

AO2 = AB2 + BO2

⇒ AB2 = AO2 – BO2 = 42 -22 = 12

⇒ AB = √12 = 2√3 (cm)

sinOAB = OB/OA =2/4 = 1/2

⇒ ∠OAB = 300 ⇒∠BAC = 2∠OAB =2.300 = 600

Tam giác ABC cân tại A và có ∠A = 600 nên ΔABC là tam giác đều. Suy ra AB= BC = CA = 2√3 (cm)

Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng 600.

a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên AB=AC và .

Suy ra (tính chất của tam giác cân).

b) Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên .

Suy ra BD//AO (vì cùng vuông góc với BC).

c) Nối OB thì

Xét tam giác AOB vuông tại B có:\(\sin A_1=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=30^O\Rightarrow\widehat{BAC}=60^O\)

Tam giác ABC cân, có một góc nên là tam giác đều.

Ta có

Vậy

Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng

a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên AB=AC và \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Suy ra (tính chất của tam giác cân).

b) Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên \(\widehat{CBD}=90^o\)

Suy ra BD//AO (vì cùng vuông góc với BC).

c) Nối OB thì

Xét tam giác AOB vuông tại B có:

\(\sin A_1=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=30^o\Rightarrow\widehat{BAC}=60^o\)

Tam giác ABC cân, có một góc nên là tam giác đều.

Ta có: AB² = OA² - OB² = 4² - 2² = 12 => AB = \(2\sqrt{3}\)

Vậy AB = AC = BC = \(2\sqrt{3}\)

Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng