Gọi ƯCLN_{(3n+1 ; 4n +1 )} là d

\(\begin{cases}3n+1⋮d\\4n+1⋮d\end{cases}\)

=> 4 ( 3n + 1) - 3 ( 4n + 1 ) ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d = 1

Vậy .......

BT 18:Chứng minh hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau:

1) 3n + 1 và 4n + 1 với n ∈ N

Gọi d là (3n + 1, 4n+1)

=) 3n+1 chia hết cho d

=) 4n+1 chia hết cho d

Vì 3n+1 là số lẻ mà d là ước của 3n+1 =) d là số lẻ

Ta có: 4(3n+1) - 3(4n+1)

= 12n + 4 - 12n+3

= 1

hay d chia hết cho 1 =) d =1 (đpcm)

do đó : (3n + 1, 4n+1) = 1

Giải:

Gọi \(d=UCLN\left(7n+10;5n+7\right)\)

Ta có:

\(7n+10⋮d\Rightarrow2\left(7n+10\right)⋮d\Rightarrow14n+20⋮d\)

\(5n+7⋮d\Rightarrow3\left(5n+7\right)⋮d\Rightarrow15n+21⋮d\)

\(\Rightarrow15n+21-14n-20⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow d=UCLN\left(7n+10;5n+7\right)=1\)

\(\Rightarrow\) 7n + 10 và 5n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN_{7n+10 ; 5n+7} là d

Theo đề ra ta có :

\(\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}\)

=> \(5\left(7n+10\right)-7\left(5n+7\right)⋮d\)

=> \(45n+50-\left(45n+49\right)⋮d\)

=> 1⋮ d

=> d = 1

Vậy (7n+10 ; 5n + 7 ) = 1

Gọi d thuộc ƯC(3n+2, 5n+3) thì

3(5n+3) - 5(3n+2) chia hết cho d => 1chia hết cho d => d = 1

Vì ƯCLN(3n+2, 5n+3)=1 nên hai số 3n+2 và 5n+3 là hai số nguyên tố cung nhau

k cho mik nha

Gọi UCLN(3n + 1; 5n +2 ) = d, ta có

3n + 1 chia hết cho d và 5n + 2 chia hết cho d

=> 3( 5n + 2 ) - 5 ( 3n + 1 ) chia hết cho d

=>(15n + 6)  -  ( 15n + 5 ) chia hết cho d => 1 chia hết cho d

=> d E Ư(1) = { 1 }

=> d = 1

Giúp mình với mn

\(a,d=ƯCLN\left(5n+2;2n+1\right)\\ \Rightarrow2\left(5n+2\right)⋮d;5\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow\left[5\left(2n+1\right)-2\left(5n+2\right)\right]⋮d\\ \Rightarrow-1⋮d\Rightarrow d=1\)

Suy ra ĐPCM

Cmtt với c,d

a) gọi d là \(UCLN\left(5n+2;2n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow5\left(2n+1\right)-2\left(5n+2\right)=10n+5-10n-4⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\\ \RightarrowƯCLN\left(5n+2;2n+1\right)=1\)b) gọi d là \(UCLN\left(7n+10;5n+7\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow5\left(7n+10\right)-7\left(5n+7\right)=35n+50-35n-49⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\\ \RightarrowƯCLN\left(7n+10;5n+7\right)=1\)

d) gọi d là \(UCLN\left(3n+1;5n+2\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+1⋮d\\5n+2⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow3\left(5n+2\right)-5\left(3n+1\right)=15n+6-15n-5⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\\ \RightarrowƯCLN\left(3n+1;5n+2\right)=1\)

5(3n+2)=15n+10

3(5n+3)=15n+9

hai số 15n+9 và 15n+10 là hai số tự nhiên liên tiếp nên ng.tố cùng nhau

Gọi UCLN(3n+2,5n+3) la d

=>3n+2 chia hết cho d=>15n+10 chia hết cho d

=>5n+3 chia hết cho d=>15n+9 chia hết cho d

=>(15n+10)-(15n+9) chia hết cho d

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy 3n+2 và 5n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi UCLN(3n+2,5n+3) la d

=>3n+2 chia hết cho d=>15n+10 chia hết cho d

=>5n+3 chia hết cho d=>15n+9 chia hết cho d

=>(15n+10)-(15n+9) chia hết cho d

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy 3n+2 và 5n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau