Bài 1: 

$a^3+b^3+c^3=3abc$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$

$\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-[3ab(a+b)+3abc]=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2-3ab]=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$

$\Rightarrow a+b+c=0$ hoặc $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

Xét TH $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Vậy $a^3+b^3+c^3=3abc$ khi $a+b+c=0$ hoặc $a=b=c$

Áp dụng vào bài:

Nếu $a+b+c=0$

$A=\frac{-c}{c}+\frac{-b}{b}+\frac{-a}{a}=-1+(-1)+(-1)=-3$

Nếu $a=b=c$

$P=\frac{a+a}{a}+\frac{b+b}{b}+\frac{c+c}{c}=2+2+2=6$

Bài4:

=>x(x^2+1)=0

>x=0

Bài 5: 

=>\(3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

=>\(3n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-1;1;-\dfrac{5}{3}\right\}\)

Ta có

( a   +   b ) 3   =   a 3   +   3 a 2 b   +   3 a b 2   +   b 3   =   a 3   +   b 3   +   3 a b ( a   +   b )     = >   a 3   +   b 3   =   ( a   +   b ) 3   –   3 a b ( a   +   b )

Từ đó

B   =   a 3   +   b 3   +   c 3   –   3 a b c =   ( a   +   b ) 3   –   3 a b ( a   +   b )   +   c 3   –   3 a b c =   [ ( a + b ) 3   +   c 3 ]   –   3 a b ( a   +   b   + c )       =   ( a   +   b   +   c ) [ ( a   +   b ) 2   –   ( a   +   b ) c   +   c 2 ]   –   3 a b ( a   +   b   +   c )

Mà a + b + c = 0 nên

B   =   0 . [ ( a   +   b ) 2   –   ( a   +   b ) c   +   c 2 ]   –   3 a b . 0   =   0

Vậy B = 0

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

$a^3+b^3=2(c^3-8d^3)$

$a^3+b^3+c^3+d^3=c^3+d^3+2(c^3-8d^3)$

$=3c^3-15d^3=3(c^3-5d^3)\vdots 3$ 

Khi đó:

$(a+b+c+d)^3=(a+b)^3+(c+d)^3+3(a+b)(c+d)(a+b+c+d)$

$=a^3+b^3+c^3+d^3+3ab(a+b)+3cd(c+d)+3(a+b)(c+d)(a+b+c+d)\vdots 3$ do:

$a^3+b^3+c^3+d^3\vdots 3$

$3ab(a+b)\vdots 3$

$3cd(c+d)\vdots 3$

$3(a+b)(c+d)(a+b+c+d)\vdots 3$

Vậy: 

$(a+b+c+d)^3\vdots 3$

$\Rightarrow a+b+c+d\vdots 3$

Rõ ràng trong hai số a, b, c tồn tại một số chẵn (Vì nếu a, b, c đều lẻ thì a³ + b³ + c³ là số lẻ, không chia hết cho 14).

Ta lại có \(a^3;b^3;c^3\equiv0;1;-1\).

Do đó nếu a, b, c đều không chia hết cho 7 thì \(a^3;b^3;c^3\equiv1;-1\left(mod7\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮̸7\).

Làm tiếp: Suy ra trong ba số a, b, c có ít nhất một số chia hết cho 7 \(\Rightarrow abc⋮7\).

Vậy abc chia hết cho 14.

Bài 4:

x^3+x=0

=>x(x^2+1)=0

=>x=0

Bài 5:

\(3n^3+10n^2-5⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2-1-4⋮3n+1\)

=>\(3n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-1;1;-\dfrac{5}{3}\right\}\)

Ta có hằng đẳng thức: 

\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc=0.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3.1=0+3=3\)

Do \(0\le a,b,c\le1\)

nên\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-1\right)\left(b-1\right)\ge0\\\left(b^2-1\right)\left(c-1\right)\ge0\\\left(c^2-1\right)\left(a-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b-b-a^2+1\ge0\\b^2c-c-b^2+1\ge0\\c^2a-a-c^2+1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b\ge a^2+b-1\\b^2c\ge b^2+c-1\\c^2a\ge c^2+a-1\end{matrix}\right.\)

Ta cũng có:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)

Do đó \(T=2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)\(-\left(a^2+b-1+b^2+c-1+c^2+a-1\right)\)

\(=3\)

Vậy GTLN của T=3, đạt được chẳng hạn khi \(a=1;b=0;c=1\)

giúp mình câu hỏi này với ah.