\(n=5^0+5^1+...+5^{2019}\)

\(n=\left(5^0+5^3\right)+\left(5^1+5^4\right)+...+\left(5^{2016}+5^{2019}\right)\)

\(n=\left(5^0+5^3\right)+5\left(5^0+5^3\right)+...+5^{2016}\left(5^0+5^3\right)\)

\(n=126+5\cdot126+...+5^{2016}\cdot126\)

\(n=126\left(1+5+...+5^{2016}\right)⋮126\) (đpcm)

________

\(n=5^0+5^1+...+5^{2019}\)

\(n=5^0+\left(5^1+5^2\right)+...+\left(5^{2017}+5^{2018}\right)+5^{2019}\)

\(n=5^0+\left(5^1+5^2\right)+...+5^{2016}\left(5^1+5^2\right)+5^{2019}\)

\(n=5^0+30+...+5^{2016}\cdot30+5^{2019}\)

\(n=5^0+30\left(1+5^2+...+5^{2016}\right)+5^{2019}\)

Đến đây bí =))

Cbht

Có a² - 1 = (a+1)(a-1) 

Xét tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3

Do a là số ng tố > 3 nên a không chia hết cho 3
=> (a-1)(a+1) chia hết cho 3          (1)

Có a là số lẻ, đặt a = 2k + 1
Do vậy a² - 1 = 4k(k+1)

Có k(k+1) luôn chia hết cho 2 => ak(k+1) chia hết cho 8            (2)

Từ (1) và (2) suy ra a² - 1 chia hết cho 24 ( vì (3;8) =1 )

Lời giải:
$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
Vì $n(n-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$

$\Rightarrow n^5-n\vdots 2,3$
Mà $(2,3)=1$ nên $n^5-n\vdots 6(*)$

Mặt khác:
Ta biết rằng 1 scp chia 5 có thể có dư là $0,1,4$
$\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n$ nguyên $(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow n^5-n\vdots (5.6=30)$

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15