ĐKXĐ: x ≥ 0

Đặt A = (√x - 3)/(√x + 1)

A nhỏ nhất khi √x - 3 nhỏ nhất

Do x ≥ 0 ⇒ √x 0

⇒ √x - 3 ≥ -3

⇒ √x - 3 nhỏ nhất là -3 khi x = 0

⇒ min A = (√0 - 3)/(√0 + 1) = -3

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+1-4}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}< =1-\dfrac{4}{1}=-3\)

Dấu = xảy ra khi x=0

\(A=\frac{-3}{2+\left|2x-5\right|}\)

Ta có: \(\left|2x-5\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2+\left|2x-5\right|\ge2\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2+\left|2x-5\right|}\le\frac{1}{2}\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{-3}{2+\left|2x-5\right|}\ge\frac{-3}{2}\forall x\)

hay \(A\ge\frac{-3}{2}\forall x\)

GTNN của \(A=\frac{-3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left|2x-5\right|=0\)

\(\Rightarrow2x-5=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{5}{2}\)

\(4x^2-8x+25\)

\(=\left(4x^2-8x+4\right)+21\)

\(=\left(2x-2\right)^2+21\)

Mà  \(\left(2x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là 21

Dấu " = " xảy ra khi :  \(2x-2=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy ...

`P=a+b+c+1/a+1/b+1/c`

`=a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c)+8/9(1/a+1/b+1/c)`

Áp dụng BĐT cosi:

`a+1/(9a)>=2/3`

`b+1/(9b)>=2/3

`c+1/(9c)>=2/3`

Áp dụng BĐT cosi schwart

`1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9`

`<=>8/9(1/a+1/b+1/c)>=8`

`=>P>=2/3+2/3+2/3+8=10`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1/3`

Nãy ghi nhầm :v

`P=a+b+c+1/a+1/b+1/c`

`=a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c)+8/9(1/a+1/b+1/c)`

Áp dụng BĐT cosi:

`a+1/(9a)>=2/3`

`b+1/(9b)>=2/3`

`c+1/(9c)>=2/3`

Áp dụng BĐT cosi schwart

`1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9`

`<=>8/9(1/a+1/b+1/c)>=8`

`=>P>=2/3+2/3+2/3+8=10`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1/3`