Question

Cho a,b,c > 0 ; a+b+c ≤ 1. Tìm GTNN của P= a+b+c+1/a+1/b+1/c
 (Nếu có thể dùng Cosi giúp mình nhé.)

Answer 1

`P=a+b+c+1/a+1/b+1/c`

`=a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c)+8/9(1/a+1/b+1/c)`

Áp dụng BĐT cosi:

`a+1/(9a)>=2/3`

`b+1/(9b)>=2/3

`c+1/(9c)>=2/3`

Áp dụng BĐT cosi schwart

`1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9`

`<=>8/9(1/a+1/b+1/c)>=8`

`=>P>=2/3+2/3+2/3+8=10`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1/3`

Answer 2

Nãy ghi nhầm :v

`P=a+b+c+1/a+1/b+1/c`

`=a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c)+8/9(1/a+1/b+1/c)`

Áp dụng BĐT cosi:

`a+1/(9a)>=2/3`

`b+1/(9b)>=2/3`

`c+1/(9c)>=2/3`

Áp dụng BĐT cosi schwart

`1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9`

`<=>8/9(1/a+1/b+1/c)>=8`

`=>P>=2/3+2/3+2/3+8=10`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1/3`