Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)

\(\Rightarrow\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\left(đpcm\right)\)

Giải:

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow a=bk,b=ck,c=dk\)

Ta có:

\(\frac{a}{d}=\frac{bk}{d}=\frac{bkk}{dk}=\frac{bk^2}{c}=\frac{b.k^2.k}{ck}=\frac{b.k^3}{b}=k^3\) (1)

\(\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\left(\frac{bk+ck+dk}{b+c+d}\right)^3=\left[\frac{k\left(b+c+d\right)}{b+c+d}\right]^3=k^3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\left(đpcm\right)\)

Như bài lúc nãy mà

\(\left(\frac{a}{c}\right)^n=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}\Leftrightarrow\frac{a^n}{c^n}=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}=\frac{a^n+b^n-a^n}{c^n+d^n-c^n}=\frac{b^n}{d^n}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^n=\left(\frac{b}{d}\right)^n\)

Từ đó suy ra đpcm.

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\left(\frac{a}{c}^n\right)=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}=\frac{\left(a^n+b^n\right)-a^n}{\left(c^n+d^n\right)-c^n}=\frac{b^n}{d^n}\)

=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^n=\left(\frac{b}{d}\right)^n\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{2016c-a-b}{c}=\frac{2016b-a-c}{b}=\frac{2016a-b-c}{a}=\frac{2016c-a-b+2016b-a-c+2016a-b-c}{a+b+c}=\frac{2016\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2014\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2014\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{2016c-a-b}{c}=2014\\\frac{2016b-a-c}{b}=2014\\\frac{2016a-b-c}{a}=2014\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2016c-a-b=2014c\\2016b-a-c=2014b\\2016a-b-c=2014a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=2014c-2016c\\-a-c=2014b-2016b\\-b-c=2014a-2016a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=-2c\\-a-c=-2b\\-b-c=-2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{matrix}\right.\) (1)

Ta có \(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)

Thế (1) vào biểu thức ta có :

\(A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)

\(\Rightarrow A=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}\)

\(\Rightarrow A=2.2.2=8\)

Vậy biểu thức A=8

Thế tui giúp hổng đc sao

Hình.

Dùng hình của bạn Xuân Sáng nhé!

Ta có : \(MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}\left(AC+CB\right)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Hình vẽ:

Ta có: AM = MC; CN = NB và AB = 6 cm

Ta có: MN=MC+CN=\(\frac{1}{2}\)AC+\(\frac{1}{2}\)CB=\(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)6 = 3 cm

Vậy MN = 3 cm

Mình chỉ làm những câu rõ đề thôi nhé ^^

1/ a/ Đặt \(t=2x-3\) thì pt trở thành \(t^3=\left(t+2\right)^2\Leftrightarrow t^3-t^2-4t-4=0\Leftrightarrow t^2\left(t-1\right)-4\left(t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2-4\right)=0\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=1\\t=-2\end{array}\right.\)

Tới đây dễ rồi .

b/ Tương tự đặt \(a=2x-3\) thì pt trở thành \(a^3=a+2\Leftrightarrow a^3-a-2=0\)

Bạn xem lại đề , lớp 7 chưa học giải pt này đâu

c/ VT > 0 => VP > 0 => x > 0

Với x > 0 thì: \(\left|x+3\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=x+3+x+4+x+5=3x+12\)

Tới đây dễ rồi :)

4) |2-|3-2x||=4

<=>\(\left[\begin{array}{nghiempt}2-\left|3-2x\right|=4\\2-\left|3-2x\right|=-4\end{array}\right.\)

<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}\left|3-2x\right|=-2\left(vl\right)\\\left|3-2x\right|=6\end{array}\right.\)

<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}3-2x=6\\3-2x=-6\end{array}\right.\)

<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{3}{2}\\x=\frac{9}{2}\end{array}\right.\)

\(\left|x+3\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=4x\)

Ta có: \(\left|x+3\right|\ge0\)

\(\left|x+4\right|\ge0\)

\(\left|x+5\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x+3\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|\ge0\)

\(\Rightarrow4x\ge0\)

\(\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x+3\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=x+3+x+4+x+5=4x\)

\(\Rightarrow\left(x+x+x\right)+\left(3+4+5\right)=4x\)

\(\Rightarrow3x+12=4x\)

\(\Rightarrow x=12\)

Các câu còn lại đề sai hoặc t không biết làm ( thông cảm nhá!! )

Ta có: \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}:\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a}{1}+\frac{b}{1}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a+b}{ab}\)

\(\Rightarrow2ab=\left(a+b\right).c\)

\(\Rightarrow2ab=ac+bc\)

\(\Rightarrow ab+ab=ac+bc\)

\(\Rightarrow ab-bc=ac-ab\)

\(\Rightarrow b.\left(a-c\right)=a.\left(c-b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Riêng đối với bài số 2. Mình nghĩ điều kiện là $a,b,c>1$ . Tất nhiên điều kiện $a,b,c>0$ thì bài toán không sai, nhưng chặt hơn và khó hơn. Với đk $a,b,c>1$ thì đây là 1 bài toán đã rất quen thuộc với những ai ôn thi HSG toán 9. Lời giải của nó cũng sơ cấp và đẹp hơn nhiều.

Tất nhiên mình vẫn làm theo đề bài trên. Nếu bạn cần, mình cũng sẽ trình bày lời giải bài kia (trong điều kiện có t/g)

\(a+b+c=abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1\)

Đặt $(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})=(x,y,z)$ thì bài toán trở thành:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Tìm min $A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-2(x^2+y^2+z^2)$

----------------------------

Ta có:

\(A=(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})(xy+yz+xz)-2(x^2+y^2+z^2)\)

\(=x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+\frac{xy^3}{z}+\frac{yz^3}{x}+\frac{zx^3}{y}-2(x^2+y^2+z^2)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{xy^3}{z}+\frac{yz^3}{x}+\frac{zx^3}{y}=\frac{x^2y^4+y^2z^4+z^2x^4}{xyz}=\frac{(x^2y^4+x^4z^2)+(y^2z^4+y^4x^2)+(z^2x^4+y^2z^4)}{2xyz}\geq \frac{2x^3y^2z+2xy^3z^2+2x^2yz^3}{2xyz}=x^2y+y^2z+z^2x\)

Do đó:

\(A\geq x^3+y^3+z^3+xy^2+y^2z+z^2x+x^2y+y^2z+z^2x-2(x^2+y^2+z^2)\)

\(A\geq (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2)\)

\(A\geq (x+y+z)[(x+y+z)^2-2]-2[(x+y+z)^2-2]\)

\(A\geq (x+y+z)^3-2(x+y+z)-2(x+y+z)^2+4\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow A\geq t^3-2t-2t^2+4\)

Áp dụng AM-GM: \(t=x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+xz)}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow t^3-2t-2t^2+4=(t-\sqrt{3})(t^2+\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3})+\sqrt{3}-2\geq \sqrt{3}-2\)

(do $t-\sqrt{3}\geq 0$ và \(t^2+\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3}\geq (2\sqrt{3}-2)\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}>0\))

$\Rightarrow A\geq t^3-2t-2t^2+4\geq \sqrt{3}-2$

Vậy $A_{\min}=\sqrt{3}-2$

Bài 1:
Kết hợp đk $abc=1$, BĐT cần chứng minh tương đương với:

\((1+a+b+c)^2\geq 4(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)

\(\Leftrightarrow 1+a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)\geq 4(1+ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c\geq 3+2ab+2bc+2ac(*)\)

Theo nguyên lý Di-rich-let thì trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng phía so với $1$

Không mất tổng quát giả sử đó là $a,b$

Khi đó: \((a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow 1+c\geq ac+bc\)

\(\Rightarrow 2+2c\geq 2ac+2bc(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^2+b^2\geq 2ab(2)\)

\(c^2+2a+2b=c^2+a+a+b+b\geq 5\sqrt[5]{c^2a^2b^2}=5(3)\)

Lấy $(1)+(2)+(3)$ rồi rút gọn ta thu được $(*)$ . Do đó BĐT ban đầu đúng. Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Lời giải khác bài 1, chợt nhớ ra là mình làm hơi dài dòng:
Vì $abc=1$ nên chắc chắn tồn tại hai số nằm khác phía so với $1$. Giả sử đó là $a,b$. Khi đó:

\((a-1)(b-1)\leq 0\Leftrightarrow a+b\geq ab+1\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a+b+c+1}{2}=\frac{(a+b)+(c+1)}{2}\geq \sqrt{(a+b)(c+1)}=\sqrt{ac+bc+a+b}\geq \sqrt{ac+bc+ab+1}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Giải:

Gọi \(a_1=a\), \(a_2=b,a_3=c,a_4=d\)

Ta có: \(b^2=a.c\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

\(c^2=b.d\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow a=bk,b=ck,c=dk\)

Ta có: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{\left(bk\right)^3+\left(ck\right)^3+\left(dk\right)^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{b^3.k^3+c^3.k^3+d^3.k^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{k^3\left(b^3+c^3+d^3\right)}{b^3+c^3+d^3}=k^3\) (1)

\(\frac{a}{d}=\frac{bk}{d}=\frac{ckk}{d}=\frac{dkkk}{d}=k^3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\) hay \(\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3}=\frac{a_1}{a_4}\) ( đpcm )

đợi t lm soạn nốt văn đã