* Trong ∆ ABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của  ∆ ABC

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

* Trong  ∆ DAC, ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của  ∆ DAC.

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong  ∆ ABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD

Suy ra: EF ⊥ EH hay ∠ (FEH) = 90 0

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác

Chứng minh: HEFG là hình bình hành và EF ^ HE

Þ HEFG là hình chữ nhật.

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Giải thích: Theo giả thiết ta có EF, GH lần lượt là đường trung bình của tam giác Δ ABC,Δ ADC

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác ta được

Chứng minh tương tự: EH//FG//BD      ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ), tứ giác EFGH có hai cặp cạnh đối song song nên tứ giác EFGH là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của EF với BD.

Áp dụng tính chất của các góc đồng vị vào các đường thẳng song song ở trên và giả thiết nên ta có:

Hình bình hành EFGH có một góc vuông nên EFGH là hình chữ nhật. 

Ta có EB = EA, FB = FC (gt)

⇒ EF là đường trung bình của ΔABC

⇒EF // AC và EF = AC/2 (1)

HD = HA, GD = GC

⇒ HG là đường trung bình của ΔADC

⇒ HG // AC và HG = AC/2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF // HG và EF = HG

⇒ Tứ giác EFGH là hình bình hành (*)

EA = EB, HA = HD ⇒ EH là đường trung bình của ΔABD ⇒ EH // BD.

Mà EF // AC, AC ⊥ BD

⇒ EH ⊥ EF ⇒ Ê = 90º (**)

Từ (*) và (**) suy ra EFGH là hình chữ nhật.

Vì E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA nên EF, FG, GH, HE lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ADC, ADB nên 

EF//HG (cùng song song với AC)

HE//FG (cùng song song với BD)

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành

Mà  A C ⊥ B D (gt)   ⇒ E F ⊥ F G

Suy ra EFGH là hình chữ nhật

Do đó  S E F G H = H E . E F mà  E F = 1 2 A C ;  H E = 1 2 B D (tính chất đường trung bình)

Vì E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA nên EF, FG, GH, HE lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ADC, ADB nên 

EF//HG (cùng song song với AC)

HE//FG (cùng song song với BD)

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành

Mà  A C ⊥ B D (gt)   ⇒ E F ⊥ F G

Suy ra EFGH là hình chữ nhật

Do đó  S E F G H = H E . E F mà E F = 1 2 A C ; H E = 1 2 B D  (tính chất đường trung bình)

Đáp án D