Question

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Answer 1

* Trong ∆ ABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của  ∆ ABC

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

* Trong  ∆ DAC, ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của  ∆ DAC.

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong  ∆ ABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD

Suy ra: EF ⊥ EH hay ∠ (FEH) = 90 0

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.