cho hỏi ngu tý: nhân lại vs nhau sẽ đc vế pải: 8*(căn ab)*(căn bc)*(căn ac) thì biến đổi tiếp như nào?

Cô-Si 2 số dương:

\(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)

\(=>\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=\left(2.2.2\right)\left(\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ca}\right)=8abc\)

Đề phải cho \(a,b,c\) là các số dương nữa :)

Giải:

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) (Đpcm)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bổ sung đk a,b,c > 0

BĐT \(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow\) Q.E.D

Dấu "=" xảy ra tại a =b =c 

\(VT=\dfrac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge4\) (AM-GM 4 số hạng)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}.2\sqrt{ab}=8abc\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

(a+b)(b+c)(c+a) >= \(2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c

vậy (a+b)...=8abc <=> a=b=c