Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

K đúng vài cái đc hông

 Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

K đúng vài cái đc hông

ΔABC có AM là trung tuyến. Cm AM<(AB+AC)/2

Lấy D sao cho M là trung điểm của AD. 

Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

=>AB=CD và AC=BD

AB+AC=AC+CD>AD

=>AB+AC>2AM

=>AM<(AB+AC)/2

Giải:

Giả thiết \(AC>AB\) thì phải chứng minh \(BM< CN\)

Thực hiện \(T\overrightarrow{\left(NM\right)}\) thì: \(B\rightarrow B';C\rightarrow C';CN\rightarrow C'M;BN\rightarrow B'M\)

Bài toán trở thành \(BM< C'M\)

Từ \(M\) hạ \(MH\) vuông góc với \(BC\)

Do \(AC>AB\Rightarrow\dfrac{1}{2AC}>\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow BC>MB'\)

\(\Rightarrow HC>HB'\) (đường xiên lớn thì hình chiếu lớn hơn).

Lại có:

\(BB'=NM=CC'\Rightarrow CC+HC>BB'+B'H\)

\(\Rightarrow HC'>BH\Rightarrow MC'>MB\) Hay \(BM< C'M\)

\(\Rightarrow CN>MB\) Hay \(BM< CN\)

Vậy trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ thì lớn hơn trung tuyến ứng với cạnh lớn (Đpcm)