a: Để 8a+19/4a+1 là số nguyên thì \(8a+2+17⋮4a+1\)

\(\Leftrightarrow4a+1\inƯ\left(17\right)\)

\(\Leftrightarrow4a+1\in\left\{1;-1;17;-17\right\}\)

hay \(a\in\left\{0;4\right\}\)

b: Tham khảo: 

Giải:
Để \(\frac{8a+19}{4a+1}\) có giá trị là số nguyên thì \(8a+19⋮4a+1\)

Ta có:

\(8a+19⋮4a+1\)

\(\Rightarrow\left(8a+2\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow2\left(4a+1\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow4a+1\in\left\{\pm1;\pm17\right\}\)

+) \(4a+1=1\Rightarrow a=0\) ( thỏa mãn )

+) \(4a+1=-1\Rightarrow a=\frac{-1}{2}\)  ( không thỏa mãn )

+) \(4a+1=17\Rightarrow a=4\) ( thỏa mãn )

+) \(4a+1=-17\Rightarrow a=\frac{-9}{2}\) ( không thỏa mãn )

Vậy a = 0 hoặc a = 4

b) Giải:

Để \(\frac{5a-17}{4a-23}\) có giá trị lớn nhất thì \(5a-17⋮4a-23\)

Ta có:
\(5a-17⋮4a-23\)

\(\Rightarrow4\left(5a-17\right)⋮4a-23\)

\(\Rightarrow20a-68⋮4a-23\)

\(\Rightarrow\left(20a-115\right)+47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow5\left(4a-23\right)+47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow4a-23\in\left\{\pm1;\pm47\right\}\)

+) \(4a-23=1\Rightarrow a=6\) ( thỏa mãn )

+) \(4a-23=-1\Rightarrow a=\frac{11}{2}\) ( không thỏa mãn )

+) \(4a-23=47\Rightarrow a=\frac{35}{2}\) ( không thỏa mãn )

+) \(4a-23=-47\Rightarrow a=-6\) ( thỏa mãn )

Vì a có giá trị lớn nhất để \(\frac{5a-17}{4a-23}\) có giá trị lớn nhất nên a = 6

Vậy a = 6

a. Ta tách \(\frac{8a+19}{4a+1}=\frac{\left(8a+2\right)+17}{4a+1}=2+\frac{17}{4a+1}\)

Để biểu thức trên có giá trị nguyên thì \(4a+1\inƯ\left(17\right)=\left\{-1;1;17;-17\right\}\)

Do a là số tự nhiên nên \(a\in\left\{0;4\right\}\)

b. Ta bổ sung là biểu thức có giá trị nguyên lớn nhất:

Gọi \(A=\frac{5a-17}{4a-23}\). A nguyên thì 4A cũng nguyên, hay \(\frac{20a-68}{4a-23}\in Z.\)

\(\frac{20a-68}{4a-23}=5+\frac{47}{4a-23}\)

Vậy thì \(4a-23\inƯ\left(47\right)=\left\{-1;1;47;-47\right\}\)

Do a là số tự nhiên nên \(a=6\)

Với a = 6, A = 13 là giá trị nguyên lớn nhất.

a) \(\frac{8a+19}{4a+1}\)CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN 

\(\Rightarrow8a+19⋮4a+1\Rightarrow2\left(4a+1\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow17⋮4a+1\Rightarrow4a+1\inƯ\left(17\right)=\left[\pm1;\pm17\right]\)

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(1\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=0\)(TM).

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(-1\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=\frac{-2}{4}\)(LOẠI).

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(17\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=6\)(TM).

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(-17\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=\frac{-9}{2}\)(LOẠI).

VẬY \(a\)\(=0\)HOẶC \(a=6\)

mình sẽ giải câu b,

\(A=\frac{5a-17}{4a-23}=\frac{4a-23+a+6}{4a-23}=1+\frac{a+6}{4a-23}.\)

\(\Rightarrow4A=4+\frac{4a+24}{4a-23}=5+\frac{47}{4a-23}\)

4A đạt giá trị GTLN khi 4a-23>0 và 4a-23 đạt GTNN

mà a là số tự nhiên nên suy ra 4a-23 có GTNN là 1 => a=6

\(\Rightarrow4A=5+\frac{47}{4.6-23}=52\)

\(\Rightarrow A=13\)

Vậy \(Max_A=13\)khi \(x=6\)

câu a)mình ghi thiếu  phải là 8a+19

8a+19/4a+1 có giá trị nguyên thì 8a+19 chia hết cho 4a+1

=> 2(4a+1)+17 chia hết 4a+1

mà 2(4a+1) chia hết 4a+1

=> 17 chia hết 4a+1

=> 4a+1 thuộc ước của 17

=> ...............

a/ Để \(\frac{8a+19}{4a+1}\)có giá trị là số nguyên thì:

\(8a+19⋮4a+1\)

\(\Rightarrow2\left(4a+1\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow17⋮4a+1\)

Vì \(a\in N\Rightarrow4a+1\inƯ\left(17\right)=\left\{\mp1;\mp17\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vì \(a\in N\Rightarrow a\in\left\{0;4\right\}\)

I don't now

or no I don't

..................

sorry

\(\frac{8a+19}{4a+1}=\frac{8a+2+17}{4a+1}=2+\frac{17}{4a+1}\)

để phân số trên là 1 số nguyên thì \(17⋮4a+1\)

hay \(4a+1\inƯ\left(17\right)=\left\{1;17;-1;-17\right\}\)xét :

nếu \(4a+1=1\Rightarrow4a=0\Rightarrow a=0\)

nếu \(4a+1=17\Rightarrow4a=16\Rightarrow a=4\)

nếu \(4a+1=-1\Rightarrow4a=-2\Rightarrow a=\frac{-1}{2}\) ( loại)

nếu \(4a+1=-17\Rightarrow4a=-18\Rightarrow4a=\frac{-9}{2}\) ( loại)

 vây: a={0;4}

\(\frac{5a-17}{4a-23}=\frac{\frac{5}{4}\left(4a-23\right)+\frac{115}{4}-17}{4a-23}=\frac{5}{4}+\frac{47}{4\left(4a-23\right)}\)

để phân số trên có giá trị lớn nhất thì \(\frac{1}{4a-23}\) là số dương lớn nhất \(\Rightarrow4a-23\) là số nhỏ nhất mà a là số tự nhiên \(\Rightarrow4a-23=1\Rightarrow4a=24\Rightarrow a=6\) 

vậy \(a=6\) thì phân số trên lớn nhất \(=\frac{5}{4}+\frac{47}{4}=\frac{52}{4}=13\) 

a)

\(\frac{8a+19}{4a+1}=\frac{8a+2+17}{4a+1}=2+\frac{17}{4a+1}\)

để phân số trên có giá trị là 1 SN thì 17 chia hết cho 4a+1

Ư (17)={1;17}

nếu 4a+1=1 thì 4a=0 nên a=0

nếu 4a+1=17 thì 4a=16 nên a=4

để\(\frac{8a+19}{4a+1}\) là 1 số nguyên thì a=0 hoặc 4

\(A=\frac{5a-17}{4a-23}=\frac{\frac{5}{4}.\left(4a-23\right)+\frac{115}{4}-17}{4a-23}=\frac{5}{4}+\frac{47}{4.\left(4a-23\right)}\)

Để A lớn nhất thì \(\frac{1}{4a-23}\) là số dương lớn nhất => 4a - 23 là nhỏ nhất  mà  a là số tự nhiên => 4a - 23 =1 => a = 6

Vậy a = 6 thì A lớn nhất bằng \(\frac{5}{4}+\frac{47}{4}=\frac{52}{4}=13\) 

hay lắm

5a-17/4a-23;a=6