\(\frac{8a+19}{4a+1}=\frac{8a+2+17}{4a+1}=2+\frac{17}{4a+1}\)
để phân số trên là 1 số nguyên thì \(17⋮4a+1\)
hay \(4a+1\inƯ\left(17\right)=\left\{1;17;-1;-17\right\}\)xét :
nếu \(4a+1=1\Rightarrow4a=0\Rightarrow a=0\)
nếu \(4a+1=17\Rightarrow4a=16\Rightarrow a=4\)
nếu \(4a+1=-1\Rightarrow4a=-2\Rightarrow a=\frac{-1}{2}\) ( loại)
nếu \(4a+1=-17\Rightarrow4a=-18\Rightarrow4a=\frac{-9}{2}\) ( loại)
vây: a={0;4}
\(\frac{5a-17}{4a-23}=\frac{\frac{5}{4}\left(4a-23\right)+\frac{115}{4}-17}{4a-23}=\frac{5}{4}+\frac{47}{4\left(4a-23\right)}\)
để phân số trên có giá trị lớn nhất thì \(\frac{1}{4a-23}\) là số dương lớn nhất \(\Rightarrow4a-23\) là số nhỏ nhất mà a là số tự nhiên \(\Rightarrow4a-23=1\Rightarrow4a=24\Rightarrow a=6\)
vậy \(a=6\) thì phân số trên lớn nhất \(=\frac{5}{4}+\frac{47}{4}=\frac{52}{4}=13\)
