gọi m là 1 giá trị của biểu thức P, Khi đó hệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x,y

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=36\left(1\right)\\x-y+2004=m\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ ( 2 ) suy ra y = x + 2004 - m

Thế vào ( 2 ),ta được : \(16x^2+9\left(x+2004-m\right)^2=144.36=5184\)

\(\Leftrightarrow25x^2+18\left(2004-m\right)x+9\left(2004-m\right)^2-5184=0\)( 3 )

Hệ PT có nghiệm khi PT ( 3 ) có nghiệm 

\(\Rightarrow\Delta'=\left[9\left(2004-m\right)\right]^2-25\left[9\left(2004-m\right)^2-5184\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2004-m\right)^2\le900\Leftrightarrow-30\le2004-m\le30\)

\(\Leftrightarrow1974\le m\le2034\)

từ đó tìm được GTNN của P là 1974 khi \(x=\frac{-54}{5};y=\frac{96}{5}\)

GTLN của P là 2034 khi \(x=\frac{54}{5};y=\frac{-96}{5}\)

Em ko chắc lắm đâu, tại yếu dạng điểm rơi tại biên này lắm.

*Tìm min

Ta có: \(S\ge x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\) (cái này dễ chứng minh) (Đẳng thức xảy ra khi có một số = 0 (hoặc 2 số "=" 0) )

Ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\ge\frac{9}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3xyz\ge2xy+2yz+2zx\)

Do \(\left[x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\right]\left[y\left(z-1\right)\left(x-1\right)\right]\left[z\left(x-1\right)\left(y-1\right)\right]\)

\(=xyz\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2\ge0\) nên tồn tại ít nhất 1 thừa số không âm. Ở đây em sẽ chứng minh trường hợp \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\). Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Do \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow3xyz\ge3xy+3xz-3x\)

Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+zx-3x-2yz\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)+\left(y-z\right)^2\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\) và các hoán vị.

*Tìm Max:

Chưa nghĩ ra.

Chết,bài tìm min nhầm chút:(dòng 10)

Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+yz-3x-2yz\ge0\)

Ta có;\(VT=x\left(x+y+z-3\right)+\left(y-z\right)^2=\left(y-z\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)

Như vầy nha!

*Tìm Max:

Dễ chứng minh:\(S\le x^2+y^2+z^2+6xyz\)

Như vậy ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+6xyz\le9=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx-3xyz\right)\ge0\)

BĐT này đúng vì \(xy+yz+zx-3xyz\ge3\left[\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2-\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^3\right]\)

\(=3\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2\left[1-\sqrt[3]{xyz}\right]\ge3\left(\sqrt[3]{xyz}\right)^2\left(1-\frac{x+y+z}{3}\right)=0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị.

Đặt \(P=x+2y\Rightarrow x=P-2y\) thế vô cái sau thì được

\(\left(P-2y\right)^2+y^2-\left(P-2y\right)-y=0\)

\(\Leftrightarrow5y^2+\left(1-4P\right)y+P^2-P=0\)

Để phương trình theo nghiêm y có nghiệm thì

\(\Delta=\left(1-4P\right)^2-4.5.\left(P^2-P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4P^2-12P-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3-\sqrt{10}}{2}\le P\le\frac{3+\sqrt{10}}{2}\)

k mình đi mình giải cho 

thế " nhất sông núi " có giải ko vậy ?????

1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)

 \(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)

max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t

\(A=x^2+y^2=\frac{\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{2}\ge\frac{\left(1.x+1.y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)A min = 1 khi x =y = 1/2

\(\sqrt{A}=\sqrt{x^2+y^2}\le\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=x+y=1\)( \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\))

=> A\(\le1\) => Max A = 1 khi x =0;y =1 hoặc x =1 ; y =0

Đk: \(x\ge2;y\ge-1;0< x+y\le9\)

Ta có: \(\sqrt{2x-4}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2(y+1)}\leq\sqrt{3(x+y-1)}\)

Từ giả thiết suy ra

\(x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}\Rightarrow x+y-1\leq\sqrt{3(x+y-1)}\)

Vậy \(1\leq(x+y)\leq4\). Đặt \(\left\{\begin{matrix}t=x+y\\t\in\left[1;4\right]\end{matrix}\right.\) ta có:

\(P=t^2-\sqrt{9-t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\)

\(P'\left(t\right)=2t+\frac{1}{2\sqrt{9-t}}-\frac{1}{2t\sqrt{t}}>0\forall t\in\left[1;4\right]\)

Vậy \(P\left(t\right)\) đồng biến trên \([1;4]\)

Suy ra \(P_{max}=P\left(4\right)=4^2-\sqrt{9-4}+\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{33-2\sqrt{5}}{2}\) khi \(\left\{\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(P_{min}=P\left(1\right)=2-2\sqrt{2}\) khi \(\left\{\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)