cho x,y \(\in\) Q. chứng tỏ rằng:
a) \(\left|x+y\right|\) \(\le\) \(\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Cho x, y \(\in\) Q, chứng tỏ rằng:
a) \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
a, Vì hai vế đều ko âm nên ta đuợc :
\(\left|x+y\right|^2\)<=\(\left(\left|x\right|^2+\left|y\right|^2\right)\)
<=> (x+y)(x+y) <= \(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
<=> \(x^2+2xy+y^2\) <= \(x^2+2\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)
<=> xy <= |xy| ( Luôn đúng với mọi x và y )
Vậy BĐT trên đúng. Dấu ' = ' xảy ra khi x, y cùng dấu
b, Áp dụng từ câu a , bạn suy ra nhé !
a) cả 2 vế không âm nên bình phương 2 vế ta được :
\(\left|x+y\right|^2\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y\right)\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right).\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2.\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\le\left|xy\right|\) Điều này luôn đúng với mọi số x ; y .
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng . Dầu " ="khí | xý | = xy <=> x ; y cùng dấu .
b) Áp dụng câu a) ta có : | x - y| + |y| \(\ge\) | (x-y) + y | = |x|
=> |x - y | \(\ge\)|x| + | y|
Đầu " = " xảy ra <=> (x-y) và y cùng dấu
a) Với mọi x, y \(\in\) Q ta luôn có x \(\le\) \(\left|x\right|\) và -x \(\le\) \(\left|x\right|\);
y \(\le\) \(\left|y\right|\) và -y \(\le\) \(\left|y\right|\) \(\Rightarrow\) x + y \(\le\) \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) và -x - y \(\le\) \(\left|x\right|\) - \(\left|y\right|\)
hay x + y \(\ge\) -( \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) ).
Do đó -( \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) ) \(\le\) x + y \(\le\) \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) .
Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|.\)
(Dấu "=" xảy ra khi xy \(\ge\) 0).
b) Theo câu a ta có:\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\Rightarrow\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|.\)
Cho \(x,y\in Q\). Chứng tỏ rằng:
a) \(|x+y|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Cho \(x,y\in Q\). Chứng tỏ rằng:
a,\(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b,\(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Cho \(x,y\in\mathbb{Q}\). Chứng tỏ rằng :
a) \( \left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) \(\left|x-y\right|\le\left|x\right|-\left|y\right|\)
a) Với mọi \(x,y\in Q\), ta luôn luôn có:
\(x\le\left|x\right|\) và \(-x\le\left|x\right|\) ; \(y\le\left|y\right|\) và \(-y\le\left|y\right|\)
Suy ra \(x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\) và \(-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
hay \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
Do đó \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) Theo câu a ta có:
\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\) ,suy ra \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Cho x, y ∈ Q. Chứng tỏ rằng:
a) \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Cho x, y ∈ Q. Chứng tỏ rằng:
a) \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
chứng minh
\(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)
\(\left|x\right|-\left|y\right|\le\left|x-y\right|\)
Cho \(x,y\in Q\). Chứng minh \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
\(\left|x\right|=\left|\left(x-y\right)+y\right|\le\left|x-y\right|+\left|y\right|\\ \Rightarrow\left|x\right|-\left|y\right|\le\left|x-y\right|\)
Dấu \("="\Leftrightarrow xy\ge0\)
\(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
⇒ \(\left(\left|x-y\right|\right)^2\ge\left(\left|x\right|-\left|y\right|\right)^2\)
⇒ \(\left(x-y\right)^2\ge x^2+2\left|xy\right|-y^2\)
⇒ \(x^2-2xy-y^2\ge x^2-2\left|xy\right|-y^2\)
⇒ 2xy \(\ge\) \(2\left|xy\right|\)
Kết luận: ...
Chúc bạn học tốt!!
Cho các số x,y,z là các số phức phân biệt sao cho \(y=tx+\left(1-t\right)z,t\in\left(0,1\right)\)
Chứng minh rằng :
\(\frac{\left|z\right|-\left|y\right|}{\left|z-y\right|}\ge\frac{\left|z\right|-\left|x\right|}{\left|z-x\right|}\ge\frac{\left|y\right|-\left|x\right|}{\left|y-x\right|}\)
Từ hệ thức :
\(y=tx+\left(1-t\right)z\)
Bất đẳng thức
\(\frac{\left|z\right|-\left|y\right|}{\left|z-y\right|}\ge\frac{\left|z\right|-\left|x\right|}{\left|z-x\right|}\)
Trở thành :
\(\left|z\right|-\left|y\right|\ge t\left(\left|z\right|-\left|x\right|\right)\)
hay
\(\left|y\right|\le\left(1-t\right)\left|z\right|+t\left|x\right|\)
Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho
\(y=\left(1-t\right)x+tx\) ta có kết quả
Bất đẳng thức thứ hai, được chứng minh tương tự bởi
\(y=tx+\left(1-t\right)z\)
tương đương với :
\(y-x=\left(1-t\right)\left(z-x\right)\)