Ta có: \(a^4+2a^2b^2+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

Và: \(a^4-2a^2b^2+b^4=\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)

Và: \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)

Ta có \(a+b=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=1\left(1\right)\)

Lại có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)

Cộng từng vế (1) và (2) ta được : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4\ge\frac{1}{4}\left(3\right)\)

Mặt khác: \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(4\right)\)

Cộng từng vế (3) và (4) ta được

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)

Bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Lời giải:

Từ \(4(a+b+c)=3abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}.\frac{1}{b^3}.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{ab}\)

\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{bc}\)

\(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{ac}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:

\(2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\geq \frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)-\frac{3}{8}=\frac{3}{2}.\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

ta có \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)   mà \(a+b=1\)

=>\(ab

tick cho mình cái mình trả lời rồi mà.

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/570547.html

Từ \(4\left(a+b+c\right)=3abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}\cdot\frac{1}{b^3}\cdot\frac{1}{8}}=\frac{3}{2ab}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế

\(2VT+\frac{3}{8}\ge\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=\frac{9}{8}\)

\(\Leftrightarrow2VT\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow VT\ge\frac{3}{8}=VP\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)

thắng nguyễn , e tưởng Bất đẳng thức AM-AG khác cô si chứ

vd nhé cho a+b+c=3   ( dự đoán a=b=c=1

áp dụng BDT AM-AG

ta có

 \(3a+3-2\ge2\sqrt[3]{9a}-2=6-2=4\)

tức là ở đề bài cho 1a mình + thêm 2a tức là a+2a=3a thì mình phải trừ đi 2( vì a=1) để cho BDT vẫn như cũ chứ @@ 

3/8 bạn ơ