Ta có : \(a^2+b^2+2ab>1\)
Lại có \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)
\(a^4+2a^2b^2+b^4>\frac{1}{4}\)
Lại có : \(a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\)
Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^4+b^4\right)>\frac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\frac{1}{8}\)
Tương tự ta được:
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab,a+b=1\)
\(\Rightarrow ab< \frac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \frac{1}{16}\)
Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow a^4+b^4>2.\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)
Ta dễ dàng chứng minh được :
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(b^2+b^2\right)+ab\)
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Tương tự thì:
\(a^4+b^2\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{8}\)
Vậy: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2
! Bài khó quá à!
Thank you very much!!!!
