I don't now

...............

.................

.

haizzzzzzzzzzzzz

ta có 3x + yz = x² + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)

do đó:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)

= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm

hi minh ket ban nhe

m.imgur.com/a/ls9dmpn

Cậu chịu khó đánh máy nhé ! Tớ dùng đt nên nhác phải đánh text lắm :(((

Cách mình ngắn hơn trên khá nhìu nha !!!!

Ta có: \(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow x^2=yz\))

Theo đề: x + y + z = 3\(\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)

Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\);\(\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên,ta được:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\)\(+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\)\(+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))

We have:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}}{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+1}\)

Dat \(\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}};\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}};\frac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\right)=\left(a;b;c\right)\)

Consider:

\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\)

Now we need to prove:

\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1}\ge2\left(M\right)\)

\(VT_M\ge\frac{9}{a+b+c+3}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}+3}=2\)

Sign '=' happen when \(\hept{\begin{cases}x=y=z=1\\a=b=c=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

theo BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại:

\(LHS\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1

Do x+y+z=3 nên: \(3x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

tương tự và thay vào biểu thức

\(\Rightarrow A=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Áp dụng bđt Bunyakovsky:

\(A\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

\(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(xy+xz+yz\right)x+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\right)\left(\sqrt{z}^2+\sqrt{x}^2\right)}}\)

\(\Rightarrow VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\right)^2}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng B.C.S ta có:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự cộng lại ta có dpcm.

Dấu = khi x=y=z=1

chờ lát tui làm cho

Thắng b c s là j :D

Đề bài thiếu điều kiện rồi :")))

thêm điều kiện đi rồi giải cho

x+y+z=3

xin lỗi mình quên :>>

\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

a/ \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\sqrt{c}}\)

\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

b/ \(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\)

\(VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Bài 1 :

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge\left(\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)+\left(\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)+\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(+3\sqrt[6]{abc}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bài 2 :

Ta có :

\(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)

( Dấu " = " \(\Leftrightarrow x^2=yz\) )

Theo đề bài ta có : \(x+y+z=3\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)

\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)

Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự ta cũng có : \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}};\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên , ta được :

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)