Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đặng Kim Anh

1 ) Cho a,b,c >0 và abc= 1.CMR:

\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

2 ) Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3

CMR : \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2020 lúc 14:36

a/ \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\sqrt{c}}\)

\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

b/ \(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\)

\(VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
9 tháng 3 2020 lúc 14:55

Bài 1 :

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge\left(\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)+\left(\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)+\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(+3\sqrt[6]{abc}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
9 tháng 3 2020 lúc 15:05

Bài 2 :

Ta có :

\(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)

( Dấu " = " \(\Leftrightarrow x^2=yz\) )

Theo đề bài ta có : \(x+y+z=3\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)

\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)

Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự ta cũng có : \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}};\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên , ta được :

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Phương Dư Khả
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Khải Lê
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Hạ Vy
Xem chi tiết