Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.

Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y

Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)

\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)

\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)

Bạn tham khảo nha : https://diendantoanhoc.net/topic/53004-cho-tam-giac-abc-va-hai-trung-tuy%E1%BA%BFn-bn-va-cm-vuong-goc-v%E1%BB%9Bi-nhau-ch%E1%BB%A9ng-minh-cotgbcotgc-23/page-1

a)

b) \(\hept{\begin{cases}AM^2=AH^2+HM^2=\left(AC^2-HC^2\right)+\left(MC-HC\right)^2=AC^2+MC^2-2MC.HC=AC^2+\frac{BC^2}{4}-BC.HC\\AM^2=AH^2+HM^2=\left(AB^2-BH^2\right)+\left(BH-BM\right)^2=AB^2+BM^2-2BH.BM=AB^2+\frac{BC^2}{4}-BC.BH\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2AM^2=AB^2+AC^2+\frac{BC^2}{2}-BC\left(HC+BH\right)=AB^2+AC^2+\frac{BC^2}{2}-BC^2=AB^2+AC^2-\frac{BC^2}{2}\)

\(CMTT\Rightarrow\hept{\begin{cases}4BM^2=2AB^2+2BC^2-AC^2\\4CN^2=2AC^2+2BC^2-AB^2\end{cases}\left(4\right)}\)

\(BM\perp CN\Leftrightarrow BG^2+CG^2=BC^2\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}BN\right)^2+\left(\frac{2}{3}CN\right)^2=BC^2\Leftrightarrow4BN^2+4CN^2=9BC^2\left(5\right) \)

\(Từ\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow\left(2AB^2+2BC^2-AC^2\right)+\left(2AC^2+2BC^2-AB^2\right)=9BC^2\Leftrightarrow5BC^2=AB^2+AC^2\left(đpcm\right)\)

Bạn tự vẽ hình :)

Gọi O là giao điểm của BN và CM . Đặt ON = x , OM = y

Ta có : AB² = 4MB²=4.(4x²+y²)

AC²=4.NC²=4.(x²+4y²)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5BC^2\)

câu 2 : 

a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không

xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : 

AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)

MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)

AM là cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)

=> AM ⊥ BC

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có 

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Sửa đề: Đường trung tuyến CM của ΔABC cắt HD tại N

Ta có: HD\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: HD//AB

=>ND//AM và HN//MB

Xét ΔCAM có ND//AM

nên \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{CN}{CM}\left(1\right)\)

Xét ΔCMB có NH//MB

nên \(\dfrac{NH}{MB}=\dfrac{CN}{CM}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{NH}{MB}\)

mà AM=MB

nên ND=NH

=>N là trung điểm của DH